矩形関数

矩形関数（くけいかんすう、英: rectangular function）は、単関数の一種で、以下のように定義される関数である^[1]。

${\displaystyle \operatorname {rect} (t)=\sqcap (t)={\begin{cases}0&{\mbox{if }}|t|>1/2\\1/2&{\mbox{if }}|t|=1/2\\1&{\mbox{if }}|t|<1/2\end{cases}}}$

別の定義では、${\displaystyle \operatorname {rect} (\pm 1/2)}$ を 0 か 1 にするか、未定義とする。

• ヘヴィサイドの階段関数 ${\displaystyle u(t)}$ を使って次のように矩形関数を表現することもできる。

${\displaystyle \operatorname {rect} \left({\frac {t}{\tau }}\right)=u\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)-u\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)}$

または、

${\displaystyle \operatorname {rect} (t)=u\left(t+{\frac {1}{2}}\right)\cdot u\left({\frac {1}{2}}-t\right)}$

とも表せる。

• 極限を用いれば、

${\displaystyle \operatorname {rect} (t)=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{1+|2t|^{n}}}}$

とも表せる。

• 矩形関数のフーリエ変換は次のようになる。

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt={\frac {\sin(\pi f)}{\pi f}}=\operatorname {sinc} (f)}$

および、

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} (t)\cdot e^{-i\omega t}\,dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\operatorname {sinc} \left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)}$

ここで sinc は正規化されたSinc関数である。

• 三角形関数は2つの矩形関数の畳み込みで定義できる。

${\displaystyle \operatorname {tri} (t)=\operatorname {rect} (t)*\operatorname {rect} (t)}$

• 矩形関数の確率分布関数として見た場合、その特性関数は次のようになる。

${\displaystyle \varphi (k)={\frac {\sin(k/2)}{k/2}}}$

また、その積率母関数は次のようになる。

${\displaystyle M(k)={\frac {\sinh(k/2)}{k/2}}}$

ここで、${\displaystyle \sinh(t)}$ は双曲線正弦関数である。

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