文様群
文様群(もんようぐん、英: wallpaper group)もしくは壁紙群(かべがみぐん)は、パターンの対称性に基づく、2次元内での繰り返しパターンに関する数学的な分類である。このようなパターンは、建築や美術で頻繁に使用され、そのパターンは17種に大別される。
歴史
1891年にEvgraf Fedorovによって、2次元空間内での繰り返しパターンが17種に大別されることの証明が試みられ[1]、1924年George Pólyaによって証明された[2]。
卜部東介(1953–2011、当時茨城大学)が、2002年に 利根安見子、近藤誠造(京都府立大学)の協力のもと、日本の伝統文様には17種類の文様群すべてが含まれていることをインターネット上に発表した。[1]
導入
文様群は、対称性によるパターン分類であるため、色・形状・サイズが大きく違う場合でも、同じグループに分類される。
対称性
17種のパターンは対称性の組み合わせからなっている。
- 並進対称性:Translations
- 回転(60°、 90°、120°、180°):Rotations
- 鏡映(鏡像対称性):mirror isometries
- 映進(並進と鏡映の組み合わせ):Glide reflections
文様群の表記
結晶学記法
結晶は3次元空間の空間群で属するが、2次元の文様群を表記することは可能である。
- 基本胞(primitive cell)の場合P、中心胞 (centered cell) の場合はCが頭文字となる。
- 回転対称数:360°/n 回
- 鏡映:鏡映対称性が組み合わさった場合は、mirror isometriesからm、鏡映していない場合は1(もしくは省略)
- 映進:映進対称性が組み合わさった場合は、Glide reflectionsからg、映進していない場合は1(もしくは省略)
例
- p2 (p211): 基本胞、回転対称2、鏡映・映進無し
- c2mm: 中心胞、回転対称2、主軸と垂直の軸で鏡映
- p31m: 基本胞、回転対称3、鏡軸は60°の鏡映
オービフォルド記法
詳細は「オービフォルド記法(英語版)」を参照
17種の文様群
- 記号説明
- ひし形は 180° (= 360°/ 2) の回転中心
- 三角形は、120° (= 360°/3) の回転中心
- 正方形は、90° (= 360°/4) の回転中心
- 六角形は、60° (= 360°/6) の回転中心
- 太い線は鏡映軸
- 鏡映と並進を組み合わせた映進軸
- 黄色い領域は、基本パターンである。
p1群
P1群は、並進のみの連続パターンで、その他の回転などは含まない。
- オービフォルド記法:o
- 点群: C1
p2群
- オービフォルド記法:2222
- 点群: C2
pm群
- オービフォルド記法:**
- 点群: D1
pg群
- オービフォルド記法:××
- 点群: D1
cm群
- オービフォルド記法:*×
- 点群: D1
p2mm群
- オービフォルド記法:*2222
- 点群: D2
p2mg群
- オービフォルド記法:22*
- 点群:
p2gg群
- オービフォルド記法:22×
- 点群:
c2mm群
- オービフォルド記法:2*22
- 点群:
p4群
- オービフォルド記法:442
- 点群:
p4mm群
- オービフォルド記法:*442
- 点群:
p4mg群
- オービフォルド記法:4*2
- 点群:
p3群
- オービフォルド記法:333
- 点群:
p3m1群
- オービフォルド記法:*333
- 点群:
p31m群
- オービフォルド記法:3*3
- 点群:
p6群
- オービフォルド記法:632
- 点群:
p6mm群
- オービフォルド記法:*632
- 点群:
参考文献
- ^ E. Fedorov (1891) "Simmetrija na ploskosti" [Symmetry in the plane], Zapiski Imperatorskogo Sant-Petersburgskogo Mineralogicheskogo Obshchestva [Proceedings of the Imperial St. Petersburg Mineralogical Society], series 2, vol. 28, pages 245-291 (in Russian)
- ^ George Pólya (1924) "Über die Analogie der Kristallsymmetrie in der Ebene," Zeitschrift für Kristallographie, vol. 60, pages 278–282.
さらなる学習用の図書
- 難波誠:「合同変換の幾何学」、現代数学社、ISBN 978-4-7687-0633-6 (2024年4月21日)。
- 河野俊丈:「結晶群」、共立講座 数学探検 7、ISBN 978-4320111806 (2015年6月25日)。
- 岩堀長慶:「復刻版 初学者のための合同変換群の話」、現代数学社、 ISBN 978-4768705322 (2020年4月23日)。