忠実加群

環 A 上の（左または右）加群 M は、その零化イデアル Ann_A (M) が {0} であるときに、忠実（英: faithful）であるという。言い換えると、各 ${\displaystyle \alpha \in A\setminus \{0\}}$ の作用が自明でない（ある x ∈ M に対して α・x ≠ 0）ということである。別の言い方をすれば、対応する表現 ${\displaystyle \psi \colon A\to \operatorname {End} (M)}$ が単射である。

任意の加群に対して、次のようにして忠実加群を対応させることができる。環準同型 ${\displaystyle \psi \colon A\to \operatorname {End} (M)}$ は、単射準同型 ${\displaystyle {\tilde {\psi }}\colon A/\ker \psi \to \operatorname {End} (M)}$ によって分解する。ker ψ は Ann_A (M) に他ならないので、${\displaystyle {\tilde {\psi }}}$ によって M に A / Ann_A (M)-加群としての構造が入り、このとき ${\displaystyle {\tilde {\psi }}}$ は単射なので M は忠実である。

A-加群 M の任意の元 x に対して M_x = M とおくと、写像

${\displaystyle \phi \colon A\to \prod _{x\in M}M_{x},\quad a\mapsto (ax)_{x\in M}}$

は A-準同型である。このとき ker φ = Ann_A (M) なので、準同型定理より

${\displaystyle A/\operatorname {Ann} _{A}(M)\cong \phi (A)\subseteq \prod _{x\in M}M_{x}}$

を得る。したがって M が忠実加群であれば、A は（自然にA-加群と見て）${\displaystyle \prod _{x\in M}M_{x}}$ の部分加群に同型である。

• 岩永, 恭雄、佐藤, 眞久、佐藤眞久『環と加群のホモロジー代数的理論』（第1版）日本評論社、2002年。ISBN 4-535-78367-5。