巡回畳み込み

巡回畳み込み（じゅんかいたたみこみ、英語: circular convolution）あるいは循環畳み込み（じゅんかんたたみこみ、英語: cyclic convolution）とは、二つの非周期関数に対し、一方の周期和（英語版）を用いて、もう一方を通常の方法で畳み込むことを意味する。このような状況は巡回畳み込み定理の文脈において現れる。もし無限の積分区間が、ちょうど一周期分へと減らされた場合には、両方の関数の周期和として、同様の畳み込み作用を表現することが出来る。このような状況は離散時間フーリエ変換の文脈において現れ、周期畳み込みとも呼ばれる。特に、二つの離散シーケンスの積に対する離散時間フーリエ変換は、各シーケンスに対するその変換の周期畳み込みである[1]。

周期 T の周期関数 xT　と、他の関数 h との畳み込みはふたたび周期関数となり、次のような形で、有限区間の積分として表現される:

( x T ∗ h ) ( t ) = d e f   ∫ − ∞ ∞ h ( τ ) ⋅ x T ( t − τ ) d τ = ∫ t o t o + T h T ( τ ) ⋅ x T ( t − τ ) d τ . {\displaystyle {\begin{aligned}(x_{T}*h)(t)\quad &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\cdot x_{T}(t-\tau )\,d\tau \\&=\int _{t_{o}}^{t_{o}+T}h_{T}(\tau )\cdot x_{T}(t-\tau )\,d\tau .\end{aligned}}} [2]

ここで to は任意のパラメータであり、hT は h の周期和で、それは次のように定義される:

h T ( t )   = d e f   ∑ k = − ∞ ∞ h ( t − k T ) = ∑ k = − ∞ ∞ h ( t + k T ) . {\displaystyle h_{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=-\infty }^{\infty }h(t-kT)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h(t+kT).}

この演算は関数 xT と hT の周期畳み込みである。もし xT が他の関数 x の周期和であるなら、同様の演算は関数 x と h の巡回畳み込みと呼ばれる。

離散シーケンス

同様に、周期 N の離散シーケンスに対して、関数 h と x の巡回畳み込みを次のように書くことが出来る:

( x N ∗ h ) [ n ]   = d e f   ∑ m = − ∞ ∞ h [ m ] ⋅ x N [ n − m ] = ∑ m = − ∞ ∞ ( h [ m ] ⋅ ∑ k = − ∞ ∞ x [ n − m − k N ] ) . {\displaystyle {\begin{aligned}(x_{N}*h)[n]\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\cdot x_{N}[n-m]\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\left(h[m]\cdot \sum _{k=-\infty }^{\infty }x[n-m-kN]\right).\end{aligned}}}

これは行列の乗法に対応し、その積分変換の核は巡回行列である。

関連項目

注釈

  1. ^ もし連続関数 x(t) のサンプルからなるシーケンス x[n] のフーリエ変換が X(ƒ) であるなら、その離散時間フーリエ変換は X(ƒ) の周期和となる（離散時間フーリエ変換を参照されたい）。
  2. ^ 証明:
    ∫ − ∞ ∞ h ( τ ) ⋅ x T ( t − τ ) d τ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\cdot x_{T}(t-\tau )\,d\tau }
    = ∑ k = − ∞ ∞ [ ∫ t o + k T t o + ( k + 1 ) T h ( τ ) ⋅ x T ( t − τ )   d τ ] = τ → τ + k T   ∑ k = − ∞ ∞ [ ∫ t o t o + T h ( τ + k T ) ⋅ x T ( t − τ − k T )   d τ ] = ∫ t o t o + T [ ∑ k = − ∞ ∞ h ( τ + k T ) ⋅ x T ( t − τ − k T ) ⏟ x T ( t − τ ) , by periodicity ]   d τ = ∫ t o t o + T [ ∑ k = − ∞ ∞ h ( τ + k T ) ] ⏟ = d e f   h T ( τ ) ⋅ x T ( t − τ )   d τ ( Q E D ) {\displaystyle {\begin{aligned}&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[\int _{t_{o}+kT}^{t_{o}+(k+1)T}h(\tau )\cdot x_{T}(t-\tau )\ d\tau \right]\\&{\stackrel {\tau \rightarrow \tau +kT}{=}}\ \sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[\int _{t_{o}}^{t_{o}+T}h(\tau +kT)\cdot x_{T}(t-\tau -kT)\ d\tau \right]\\&=\int _{t_{o}}^{t_{o}+T}\left[\sum _{k=-\infty }^{\infty }h(\tau +kT)\cdot \underbrace {x_{T}(t-\tau -kT)} _{x_{T}(t-\tau ),{\text{by periodicity}}}\right]\ d\tau \\&=\int _{t_{o}}^{t_{o}+T}\underbrace {\left[\sum _{k=-\infty }^{\infty }h(\tau +kT)\right]} _{{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ h_{T}(\tau )}\cdot x_{T}(t-\tau )\ d\tau \quad \quad \scriptstyle {(QED)}\end{aligned}}}

参考文献

  • Rabiner, Lawrence R.; Gold, Bernard (1975). Theory and application of digital signal processing. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall. pp. 63–67. ISBN 0-13-914101-4 
  • Oppenheim, Alan V.; Schafer, Ronald W.; Buck, John A. (1999). Discrete-time signal processing. Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall. ISBN 0-13-754920-2 


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