ソリッド・トーラス 初等幾何学 における中身の詰まったトーラス (なかみのつまったトーラス、英 : solid torus ; ソリッドトーラス 、トーラス体 )は、一つの円周 に沿って円板 が掃く領域として定まる回転体 である。位相的 には、一つのハンドル体 のみを持つ(すなわち種数 1 の)コンパクト図形である。
中身の詰まったトーラスを図示するには三次元空間 に埋め込まれたトーラス形 (トロイド)として描くのが標準的な方法であるが、図示の仕方によっては互いに区別すべきトーラス と同様の見た目になることがある。トーラスとはトーラス形の表面(境界面)を成す二次元の図形のことであり、トーラスに囲まれる有界領域はソリッドトーラスの一種となる。
回転体としてのトーラス 値 r < R を任意にとり固定して考えるとき、ソリッド・トーラス は半径 R の円周 からの距離 a ≤ r なる点全体の成す集合である。したがってそれは、半径 r の円板を、その円と交わらずその円の属する平面上に載っている軸の周りに、回転半径 R がもとの円板の半径より大きくなるように、回転させて得られる[ 1] :198 。
媒介表示 トーラスの媒介変数表示を以下のように与えることができる:
X → ( t , p ) = ( x y z ) = R ( cos t sin t 0 ) + a ( cos t cos p sin t cos p sin p ) = ( ( R + a cos p ) cos t ( R + a cos p ) sin t a sin p ) ( 0 ≤ a ≤ r , 0 ≤ t , p ≤ 2 π ) . {\displaystyle {\vec {X}}(t,p)={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=R{\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\\0\end{pmatrix}}+a{\begin{pmatrix}\cos t\cos p\\\sin t\cos p\\\sin p\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(R+a\cos p)\cos t\\(R+a\cos p)\sin t\\a\sin p\end{pmatrix}}\quad (0\leq a\leq r,0\leq t,p\leq 2\pi ).}
体積 ソリッドトーラスの体積は、函数行列式 (ヤコビ行列 の行列式 )上の三重積分として計算できる。先の媒介表示に関するヤコビ行列は以下のように陽に書ける:
J f = ∂ ( x , y , z ) ∂ ( a , t , p ) = ( ∂ a x ∂ p x ∂ t x ∂ a y ∂ p y ∂ t y ∂ a z ∂ p z ∂ t z ) = ( cos t cos p − R sin t − a sin t cos p a cos t sin p sin t cos p R cos t + a cos t cos p a sin t sin p sin p 0 − a cos p ) , {\displaystyle J_{f}={\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (a,t,p)}}={\begin{pmatrix}\partial _{a}x&\partial _{p}x&\partial _{t}x\\\partial _{a}y&\partial _{p}y&\partial _{t}y\\\partial _{a}z&\partial _{p}z&\partial _{t}z\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos t\cos p&-R\sin t-a\sin t\cos p&a\cos t\sin p\\\sin t\cos p&R\cos t+a\cos t\cos p&a\sin t\sin p\\\sin p&0&-a\cos p\end{pmatrix}},} ゆえにその行列式は det ( J f ) = a ( a cos p + R ) {\displaystyle \det(J_{f})=a(a\cos p+R)} であり、この行列式の値は法ベクトルのノルムに等しい。すなわち、ソリッドトーラスの体積は
V = ∫ V d V = ∫ Γ det ( J f ) d Γ = ∫ 0 2 π d t ∫ 0 2 π d p ∫ 0 r d a ( R a + a 2 cos p ) = 2 π 2 r 2 R {\displaystyle V=\int _{V}dV=\int _{\Gamma }\det(J_{f})d\Gamma =\int _{0}^{2\pi }dt\int _{0}^{2\pi }dp\int _{0}^{r}da~(Ra+a^{2}\cos p)=2\pi ^{2}r^{2}R} と計算される。
命題 ソリッドトーラスの体積は V = 2 π 2 r 2 R {\displaystyle V=2\pi ^{2}r^{2}R} で与えられる。 この公式を、円板の面積 A r = π r 2 {\displaystyle A_{r}=\pi r^{2}} と中心軌跡(円周の長さ) U R = 2 π R {\displaystyle U_{R}=2\pi R} を掛けたものと解釈することができる。これは円柱体の体積が V cylinder = π r 2 l {\displaystyle V_{\text{cylinder}}=\pi r^{2}l} であるのと同様である。表面積の計算も同様にできて、ここでは二つの円周 U r = 2 π r {\displaystyle U_{r}=2\pi r} と U R = 2 π R {\displaystyle U_{R}=2\pi R} の積に等しい。これもやはり円柱の側面積が O cylinder = 2 π r l {\displaystyle O_{\text{cylinder}}=2\pi rl} であることに対応する。
位相的トーラス体 位相幾何学 におけるソリッドトーラス は、円板 D 2 と円周 S 1 との直積集合 S 1 × D 2 に直積位相 を入れたものに同相であるな位相空間 を言う[ 2] :188 。
ソリッドトーラスは連結 コンパクト かつ向き付け可能 な三次元の境界付き多様体 で、その境界は通常のトーラス S 1 × S 1 に同相である。
円板 D 2 は可縮 ゆえ、ソリッドトーラスは円周 S 1 のホモトピー型 を持つ[ 3] :2 。したがってソリッドトーラスの基本群 およびホモロジー群 は円周のそれに同型となる:
π 1 ( S 1 × D 2 ) ≅ π 1 ( S 1 ) ≅ Z , {\displaystyle \pi _{1}(S^{1}\times D^{2})\cong \pi _{1}(S^{1})\cong \mathbb {Z} ,} H k ( S 1 × D 2 ) ≅ H k ( S 1 ) ≅ { Z if k = 0 , 1 , 0 otherwise . {\displaystyle H_{k}(S^{1}\times D^{2})\cong H_{k}(S^{1})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &{\text{if }}k=0,1,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}
関連項目 双曲的デーン手術(英語版) リーブ折り畳み(英語版) ホワイトヘッド多様体(英語版)
参考文献 ^ Falconer, Kenneth (2004), Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications (2nd ed.), John Wiley & Sons, ISBN 9780470871355, https://books.google.co.jp/books?id=JXnGzv7X6wcC . ^ Matsumoto, Yukio (2002), An Introduction to Morse Theory , Translations of mathematical monographs, 208 , American Mathematical Society, ISBN 9780821810224, https://books.google.co.jp/books?id=TtKyqozvgIwC . ^ Ravenel, Douglas C. (1992), Nilpotence and Periodicity in Stable Homotopy Theory , Annals of mathematics studies, 128 , Princeton University Press, ISBN 9780691025728, https://books.google.co.jp/books?id=RA18_pxdPK4C .