不足角

不足角（ふそくかく）とは、ユークリッド幾何学においては、多面体のある頂点について、その頂点の周りの角度の和が360°に不足していることを言う。あるいはより一般に多胞体について、胞のピークの二面角が真円に足りないものを言う。

例

全ての面が正五角形からなる正十二面体を考える。各頂点について正五角形が3つずつ集まり、正五角形の内角は108°だから、不足角は 360° − (108° + 108° + 108°) = 36° である。また頂点は全部で20個あるから、不足角の総和は 36° × 20 = 720° である。

他の正多面体についても同じ考え方を適用すれば、以下の表を得る。

正多面体	頂点数	1つの頂点に集まる図形	不足角	不足角の総和
正四面体	4	3つの正三角形	$\pi \ (180^{\circ })$	$4\pi \,$
正八面体	6	4つの正三角形	${2\pi \over 3}\ (120^{\circ })$	$4\pi$
立方体	8	3つの正方形	${\pi \over 2}\ (90^{\circ })$	$4\pi \,$
正二十面体	12	5つの正三角形	${\pi \over 3}\ (60^{\circ })$	$4\pi \,$
正十二面体	20	3つの正五角形	${\pi \over 5}\ (36^{\circ })$	$4\pi \,$

不足角におけるデカルトの定理（英: Descartes' theorem on total angular defect）とは、球と位相同型な、つまり穴のない多面体において、不足角の総和は常に 720°（ $4\pi$ ）に等しいという定理である（上表も参照）^[1]。

より一般には、多面体のオイラー標数 $\chi =2-2g$ （ここで g は「穴の数」を表す）を用いて、不足角の総和は $2\pi \chi$ で表される。

これはガウス・ボネの定理においてリーマン多様体が多面体であるときの特殊なケースであり、不足角はその頂点におけるガウス曲率に一致する。このとき多面体中のガウス曲率は頂点に集中しており、辺や面におけるガウス曲率は 0 となっている。

双曲三角形において、その角度の総和を A とすれば、全不足角は $\pi -A$ で表される。

また球面三角形において、その角度の総和を A とすれば、全不足角は $A-\pi$ で表される。

特筆すべきこととして、これらの三角形の面積はその全不足角^[2]に比例することが示される。

^ Descartes, René, Progymnasmata de solidorum elementis, in Oeuvres de Descartes, vol. X, pp. 265–276
^ 球面三角形の場合は球過量 (Spherical Excess) と称され、この量が球面三角形の面積に関係している事実はアルベルト・ジラール（フランス語版、英語版）が彼の著書 Invention nouvelle en l'algebre において述べている。