リエナールの定理

力学系において、リエナールの定理 (Liénard's theorem) とはリミットサイクルの存在を示す定理。

リエナール方程式

次のような微分方程式を、リエナール方程式という。

d 2 x d t 2 + f ( x ) d x d t + g ( x ) = 0 {\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}+f(x){dx \over dt}+g(x)=0}

リエナールの定理

リエナール方程式が次の5つの条件を満たすとき、 ( x , d x d t ) {\displaystyle \left(x,{dx \over dt}\right)} 平面状に唯一の安定なリミットサイクルを持つ。

  1. f(x) と g(x) の微分が連続（C1級）
  2. g(x) が奇関数
  3. f(x) が偶関数
  4. x > 0 ならば、 g(x) > 0
  5. 次のような a が存在する。奇関数 F ( x ) = ∫ 0 x f ( u ) d u {\displaystyle F(x)=\int _{0}^{x}\!f(u)\,du} が、
    • 0 < x < a {\displaystyle 0<x<a} ならば、 F ( x ) < 0 {\displaystyle F(x)<0}
    • F ( a ) = 0 {\displaystyle F(a)=0}
    • x > a {\displaystyle x>a} ならば、正かつ非減少


リエナール系

リエナール方程式は、

F ( x ) := ∫ 0 x f ( ξ ) d ξ {\displaystyle F(x):=\int _{0}^{x}f(\xi )d\xi }
x 1 := x {\displaystyle x_{1}:=x\,}
x 2 := d x d t + F ( x ) {\displaystyle x_{2}:={dx \over dt}+F(x)}

と置くことで、等価な2次元の常微分方程式系に変換できる。

[ x ˙ 1 x ˙ 2 ] = h ( x 1 , x 2 ) := [ x 2 − F ( x 1 ) − g ( x 1 ) ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {x}}_{1}\\{\dot {x}}_{2}\end{bmatrix}}=\mathbf {h} (x_{1},x_{2}):={\begin{bmatrix}x_{2}-F(x_{1})\\-g(x_{1})\end{bmatrix}}}

これをリエナール系と呼ぶ.

関連項目