モリーの法則

モリーの法則（モリーのほうそく、英: Morrie's law）は、三角関数の等式

cos ⁡ ( 20 ∘ ) ⋅ cos ⁡ ( 40 ∘ ) ⋅ cos ⁡ ( 80 ∘ ) = 1 8 {\displaystyle \cos(20^{\circ })\cdot \cos(40^{\circ })\cdot \cos(80^{\circ })={\frac {1}{8}}}

である。これはより一般の恒等式

2 n ⋅ ∏ k = 0 n − 1 cos ⁡ ( 2 k α ) = sin ⁡ ( 2 n α ) sin ⁡ ( α ) {\displaystyle 2^{n}\cdot \prod _{k=0}^{n-1}\cos(2^{k}\alpha )={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{\sin(\alpha )}}}

において n = 3 , α = 20° とした特別な場合である。なお sin ⁡ ( 180 ∘ − x ) = sin ⁡ ( x ) {\displaystyle \sin(180^{\circ }-x)=\sin(x)} より

sin ⁡ ( 160 ∘ ) sin ⁡ ( 20 ∘ ) = sin ⁡ ( 180 ∘ − 20 ∘ ) sin ⁡ ( 20 ∘ ) = 1 {\displaystyle {\frac {\sin(160^{\circ })}{\sin(20^{\circ })}}={\frac {\sin(180^{\circ }-20^{\circ })}{\sin(20^{\circ })}}=1}

であることを使っている。

この式の名称は物理学者のリチャード・P・ファインマンに由来し、彼はこの等式をこの名でよく呼んでいた。というのもファインマンは幼年時代にMorrie Jacobsという少年からこの式を教わり、それを終生忘れなかったからである[1]。

正弦関数にも類似の関係が成り立つ。

sin ⁡ ( 20 ∘ ) ⋅ sin ⁡ ( 40 ∘ ) ⋅ sin ⁡ ( 80 ∘ ) = 3 8 {\displaystyle \sin(20^{\circ })\cdot \sin(40^{\circ })\cdot \sin(80^{\circ })={\frac {\sqrt {3}}{8}}}

さらに、2番目の等式を1番目の等式で割れば、次が成り立つのは明らかである。

tan ⁡ ( 20 ∘ ) ⋅ tan ⁡ ( 40 ∘ ) ⋅ tan ⁡ ( 80 ∘ ) = 3 = tan ⁡ ( 60 ∘ ) {\displaystyle \tan(20^{\circ })\cdot \tan(40^{\circ })\cdot \tan(80^{\circ })={\sqrt {3}}=\tan(60^{\circ })}

証明

正弦関数の倍角の公式より、

sin ⁡ ( 2 α ) = 2 sin ⁡ ( α ) cos ⁡ ( α ) {\displaystyle \sin(2\alpha )=2\sin(\alpha )\cos(\alpha )}

cos ⁡ ( α ) {\displaystyle \cos(\alpha )} について解くと

cos ⁡ ( α ) = sin ⁡ ( 2 α ) 2 sin ⁡ ( α ) {\displaystyle \cos(\alpha )={\frac {\sin(2\alpha )}{2\sin(\alpha )}}}

これより

cos ⁡ ( 2 α ) = sin ⁡ ( 4 α ) 2 sin ⁡ ( 2 α ) cos ⁡ ( 4 α ) = sin ⁡ ( 8 α ) 2 sin ⁡ ( 4 α ) ⋮ cos ⁡ ( 2 n − 1 α ) = sin ⁡ ( 2 n α ) 2 sin ⁡ ( 2 n − 1 α ) {\displaystyle {\begin{aligned}\cos(2\alpha )&={\frac {\sin(4\alpha )}{2\sin(2\alpha )}}\\[6pt]\cos(4\alpha )&={\frac {\sin(8\alpha )}{2\sin(4\alpha )}}\\&{}\,\,\,\vdots \\\cos(2^{n-1}\alpha )&={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{2\sin(2^{n-1}\alpha )}}\end{aligned}}}

これらの等式を全て掛け合わせると、

cos ⁡ ( α ) cos ⁡ ( 2 α ) cos ⁡ ( 4 α ) ⋯ cos ⁡ ( 2 n − 1 α ) = sin ⁡ ( 2 α ) 2 sin ⁡ ( α ) ⋅ sin ⁡ ( 4 α ) 2 sin ⁡ ( 2 α ) ⋅ sin ⁡ ( 8 α ) 2 sin ⁡ ( 4 α ) ⋯ sin ⁡ ( 2 n α ) 2 sin ⁡ ( 2 n − 1 α ) {\displaystyle \cos(\alpha )\cos(2\alpha )\cos(4\alpha )\cdots \cos(2^{n-1}\alpha )={\frac {\sin(2\alpha )}{2\sin(\alpha )}}\cdot {\frac {\sin(4\alpha )}{2\sin(2\alpha )}}\cdot {\frac {\sin(8\alpha )}{2\sin(4\alpha )}}\cdots {\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{2\sin(2^{n-1}\alpha )}}}

が得られる。中間の因子の分子・分母はキャンセルし、最初の因子の分母と、2のべき乗と、最後の因子の分子だけが残る。これより、

∏ k = 0 n − 1 cos ⁡ ( 2 k α ) = sin ⁡ ( 2 n α ) 2 n sin ⁡ ( α ) {\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}\cos(2^{k}\alpha )={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{2^{n}\sin(\alpha )}}}

これが一般化されたモリーの法則である。

脚注

  1. ^ W. A. Beyer, J. D. Louck, and D. Zeilberger, A Generalization of a Curiosity that Feynman Remembered All His Life, Math. Mag. 69, 43–44, 1996.

外部リンク

  • Weisstein, Eric W. "Morrie's Law". mathworld.wolfram.com (英語).