メルテンスの定理

メルテンスの定理（メルテンスのていり、Mertens' theorems）は、1874年にフランツ・メルテンス（英語版）により証明された、素数を含んだ和や積の評価に関する一連の定理である。 素数定理より弱い評価を与えているが、素数定理に比べ、証明が比較的容易である。

p が素数を走るとき、次の評価が成り立つ。

${\displaystyle \sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p}}=\log n+O(1),}$

${\displaystyle \sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}=\log \log n+b+o(1),}$

${\displaystyle \prod _{p\leq n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)={\frac {e^{-\gamma }+o(1)}{\log n}}.}$

O, o はランダウの記号である。これらの不等式を順に、第一定理から第三定理と呼ぶ。

また第二定理に現れる定数 b をMeissel–Mertens定数（英語版）という。

素数 p が n の階乗 ${\displaystyle n!}$ を割り切る回数を ${\displaystyle e(p,n)}$ とおくと ルジャンドルの公式 より

${\displaystyle e(n,p)=\sum _{i=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor }$

であるから

${\displaystyle {\frac {n}{p}}-1\leq e(n,p)<{\frac {n}{p-1}}}$

が成り立つ。よって

${\displaystyle \sum _{p\leq n}\log p\left({\frac {n}{p}}-1\right)\leq \log n!=\sum _{p}e(n,p)\log p<\sum _{p\leq n}{\frac {n\log p}{p-1}}}$

となるから

${\displaystyle \sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p}}\leq {\frac {1}{n}}\left(\log n!+\sum _{p\leq n}\log p\right)}$

となるが、チェビシェフ関数の初等的な評価より

${\displaystyle \sum _{p\leq n}\log p=\theta (n)<2n\log 2}$

が成り立ち、階乗の増大度について、

${\displaystyle \log n!=\sum _{k=1}^{n}\log k=n\log n-n+O(\log n)}$

がすぐわかる（スターリングの公式はより強い近似を与えるが、上の近似はより容易に導かれる）から

${\displaystyle \sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p}}\leq {\frac {1}{n}}\log n!+2\log 2\leq \log n+C_{1}}$

となる定数 ${\displaystyle C_{1}}$が存在する。一方

${\displaystyle \sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p}}\geq \sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p-1}}-C_{2}>{\frac {1}{n}}\log n!-C_{2}\geq \log n-C_{3}}$

となる定数 ${\displaystyle C_{2},C_{3}}$ が存在することは

${\displaystyle \sum _{p\leq n}{\frac {\log p}{p(p-1)}}<\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\log k}{k(k-1)}}<\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2\log k}{k^{2}}}}$

が収束することからわかる。

${\displaystyle S(x)=\sum _{p\leq x}{\frac {\log p}{p}},R(x)=S(x)-\log x}$ とおく。第一定理より ${\displaystyle R(x)=O(1)}$ である。よって積分

${\displaystyle \int _{2}^{x}{\frac {R(t)dt}{t\log ^{2}t}}}$

は${\displaystyle x\rightarrow \infty }$のとき収束する。したがって、アーベルの総和公式より

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}&={\frac {S(n)}{\log n}}+\int _{2}^{n}{\frac {S(t)}{t\log ^{2}t}}dt\\&=1+{\frac {R(n)}{\log n}}+\int _{2}^{n}{\frac {dt}{t\log t}}+\int _{2}^{n}{\frac {R(t)dt}{t\log ^{2}t}}\\&=\log \log n+1-\log \log 2+{\frac {R(n)}{\log n}}+\int _{2}^{\infty }{\frac {R(t)dt}{t\log ^{2}t}}-\int _{n}^{\infty }{\frac {R(t)dt}{t\log ^{2}t}}\\&=\log \log n+1-\log \log 2+\int _{2}^{\infty }{\frac {R(t)dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {R(n)}{\log n}}+O\left(\int _{n}^{\infty }{\frac {dt}{t\log ^{2}t}}\right)\\&=\log \log n+1-\log \log 2+\int _{2}^{\infty }{\frac {R(t)dt}{t\log ^{2}t}}+O\left({\frac {1}{\log n}}\right)\end{aligned}}}$

となるので、第二定理は

${\displaystyle b=1-\log \log 2+\int _{2}^{\infty }{\frac {R(t)dt}{t\log ^{2}t}}}$

について成り立つ。

収束性は

${\displaystyle \sum _{p\leq n}-\log \left(1-{\frac {1}{p}}\right)=\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}+\sum _{p\leq n}\sum _{m\geq 2}{\frac {1}{mp^{m}}}}$

および

${\displaystyle \sum _{p>n}\sum _{m\geq 2}{\frac {1}{mp^{m}}}=O\left(\sum _{p>n}{\frac {1}{p^{2}}}\right)=O\left({\frac {1}{n}}\right)}$

から、第二定理よりすぐに導かれる。

定数部分が ${\displaystyle e^{-\gamma }}$ であることの証明は概略のみ述べる。

${\displaystyle h(s)=\sum _{p}{\frac {1}{p^{s}}},g(s)=h(s)+\log \zeta (s)=\sum _{p}{\frac {1}{p^{s}}}-\log \left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right),P(x)=\sum _{p\leq x}{\frac {1}{p}}}$

とおく（ g (s) についての等式はリーマンゼータ関数のオイラー積から得られる）。アーベルの総和公式を用いて

${\displaystyle h(s)=(s-1)\int _{1}^{\infty }{\frac {P(t)}{t^{s}}}dt}$

が得られる。ここで ${\displaystyle t=e^{u/(s-1)}}$ とおくとオイラーの定数の積分表示から

${\displaystyle (s-1)\int _{1}^{\infty }{\frac {\log \log t}{t^{s}}}dt=\int _{1}^{\infty }e^{-u}\log {\frac {u}{s-1}}dt=-\gamma -\log(s-1)}$

となる。これと第二定理を用いて

${\displaystyle h(s)+\log(s-1)+\gamma -b\rightarrow 0(s\rightarrow 1+0)}$

が示せる。${\displaystyle (s-1)\zeta (s)\rightarrow 1(s\rightarrow 1+0)}$ より

${\displaystyle g(1)=\lim _{s\rightarrow 1+0}g(s)=\lim _{s\rightarrow 1+0}(h(s)+\log \zeta (s))=b-\gamma }$

つまり

${\displaystyle \sum _{p\leq x}\log \left(1-{\frac {1}{p}}\right)=-\gamma +b-P(x)+o(1)}$

である。再び第二定理を用いて

${\displaystyle \sum _{p\leq x}\log \left(1-{\frac {1}{p}}\right)=-\gamma -\log \log n+o(1)}$

が得られ、第三定理が示される。

• Hardy, G.H.; Wright, E.M. (2008) [1938]. An Introduction to the Theory of Numbers. Revised by D.R. Heath-Brown and J.H. Silverman. Foreword by Andrew Wiles. (6th ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921986-5. Zbl 1159.11001 
• Apostol, Tom A. (1976). Introduction to analytic number theory. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4757-5579-4. ISBN 978-1-4757-5579-4. MR0434929. Zbl 0335.10001