ミルナーのK理論

ミルナーのK-理論(Milnor K-theory)は、高次代数的K-理論を定義する初期の試みであり、 Milnor (1970) により導入された。

定義

体 F の K2 の計算により、ミルナーは「高次」K-群の次の定義を発見した。

K ∗ M ( F ) := T ∗ F × / ( a ⊗ ( 1 − a ) )   . {\displaystyle K_{*}^{M}(F):=T^{*}F^{\times }/(a\otimes (1-a))\ .}

このように、a ≠ 0, 1 により生成された両側イデアル(two-sided ideal)による乗法群 F× のテンソル代数の商の次数付き部分である。n = 0, 1, 2 に対しては、これらは体のキレン(Quillen)の K-群に一致するが、n ≧ 3 に対しては一般には同値にならない。記号 { a 1 , … , a n } {\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{n}\}} を a 1 ⊗ ⋯ ⊗ a n {\displaystyle a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n}} の像として定義すると、n = 2 は、シュタインバーグの記号（英語版）(Steinberg symbol)である[1]。

テンソル代数のテンソル積は、 K ∗ M ( F ) {\displaystyle K_{*}^{M}(F)} を次数付き可換（英語版）(graded-commutative)である次数付き環とする積 K m × K n → K m + n {\displaystyle K_{m}\times K_{n}\rightarrow K_{m+n}} を導く[2]。

例

例えば、n ≧ 2; に対し、 K n M ( F q ) = 0 {\displaystyle K_{n}^{M}(\mathbb {F} _{q})=0} である。 K 2 M ( C ) {\displaystyle K_{2}^{M}(\mathbb {C} )} は一意な非可算剰余群であり、 K 2 M ( R ) {\displaystyle K_{2}^{M}(\mathbb {R} )} は一意的な非可算剰余群と位数 2 の巡回群の直和である。 K 2 M ( Q p ) {\displaystyle K_{2}^{M}(\mathbb {Q} _{p})} は F p {\displaystyle \mathbb {F} _{p}} の乗法群と非可算な剰余群の直和である。すべての奇素数 p {\displaystyle p} に対し、位数 p − 1 {\displaystyle p-1} の巡回群と位数 2 の巡回群の直和である。

応用

ミルナーのK-理論は、高次類体論で基本的な役割を果たし、1-次元類体論では、 K 1 M {\displaystyle K_{1}^{M}} を変更する。

ミルナーのK-理論 modulo 2 は、k*(F) と書かれ、ミルナー予想により、体 F のエタールコホモロジーとガロアコホモロジーへ関連付けられる。この事実はウラジーミル・ヴォエヴォドスキーにより証明された。 ミルナー予想の一般化であるブロック・加藤の予想（ノルム剰余同型定理）は、ヴォエヴォドスキーにより証明された。この証明にはマーカス・ロスト（英語版）らの結果が重要な役割を果たしている[3]。

次のように記号を使うと、kn(F) から F のヴィット環（英語版）(Witt ring)への準同型が存在する。

{ a 1 , … , a n } ↦ ⟨ ⟨ a 1 , a 2 , . . . , a n ⟩ ⟩ = ⟨ 1 , a 1 ⟩ ⊗ ⟨ 1 , a 2 ⟩ ⊗ . . . ⊗ ⟨ 1 , a n ⟩   , {\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{n}\}\mapsto \langle \langle a_{1},a_{2},...,a_{n}\rangle \rangle =\langle 1,a_{1}\rangle \otimes \langle 1,a_{2}\rangle \otimes ...\otimes \langle 1,a_{n}\rangle \ ,}

ここに像は、次元 2n のフィスター形式（英語版）(Pfister form)である[1]。像は In/In+1 としてとることが可能で、写像はフィスター形式が加法的に In を生成するので全射である[4]。ミルナー予想は、これらの写像は同型であるということと解釈することができる。

参考文献

  1. ^ a b Lam (2005) p.366
  2. ^ Gille & Szamuely (2006) p.184
  3. ^ Voevodsky 2011.
  4. ^ Lam (2005) p.316
  • Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006). Central simple algebras and Galois cohomology. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 101. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-86103-9. Zbl 1137.12001 
  • Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduction to Quadratic Forms over Fields. Graduate Studies in Mathematics. 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. MR2104929. Zbl 1068.11023 
  • Milnor, John Willard (1970), With an appendix by J. Tate, “Algebraic K-theory and quadratic forms”, Inventiones Mathematicae 9: 318–344, doi:10.1007/BF01425486, ISSN 0020-9910, MR0260844, Zbl 0199.55501 
  • Voevodsky, Vladimir (2011). “On motivic cohomology with Z / ℓ {\displaystyle \mathbb {Z} /\ell } -coefficients”. Annals of Mathematics 174 (1): 401–438. arXiv:0805.4430. doi:10.4007/annals.2011.174.1.11. MR2811603. 

進んだ文献

  • Efrat, Ido (2006), Valuations, orderings, and Milnor K-theory, Mathematical Surveys and Monographs, 124, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4041-X, Zbl 1103.12002