オイラー積分

数学において、オイラー積分（オイラーせきぶん, 英: Euler integral, Eulerian integral）とは、数学者オイラー、ルジャンドルによって研究された積分[1][2]。第一種オイラー積分と第二種オイラー積分の2つが存在し、それぞれがベータ関数とガンマ関数に相当する。 オイラー積分の名はルジャンドルによって与えられた。

概要

第一種オイラー積分（Euler integral of the first kind）はベータ関数とも呼ばれ、 ℜ ( x ) > 0 {\displaystyle \Re (x)>0} , ℜ ( y ) > 0 {\displaystyle \Re (y)>0} を満たす x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} に対して、

B ( x , y ) = ∫ 0 1 t x − 1 ( 1 − t ) y − 1 d t = Γ ( x ) Γ ( y ) Γ ( x + y ) {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}}

で定義される。

第二種オイラー積分（Euler integral of the second kind）はガンマ関数とも呼ばれ、 ℜ ( z ) > 0 {\displaystyle \Re (z)>0} を満たす z {\displaystyle z} に対して、

Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t {\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\,e^{-t}\,dt}

で定義される。

オイラー積分の性質として、正の整数 l {\displaystyle l} , m {\displaystyle m} , n {\displaystyle n} に対して、

B ( l , m ) = ( l − 1 ) ! ( m − 1 ) ! ( l + m − 1 ) ! = l + m l m ( l + m l ) {\displaystyle \mathrm {B} (l,m)={(l-1)!(m-1)! \over (l+m-1)!}={l+m \over lm{l+m \choose l}}}

Γ ( n ) = ( n − 1 ) ! {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!\,}

という表示もある。

脚注

  1. ^ *L. Euler, Nov. Comm. Petrop., XVI.(1772)
  2. ^ A. M. Legendre. Exercices de calcul intégral sur divers ordres de transcendantes et sur les quadratures. 1. p. 221. https://archive.org/details/exercicescalculi01legerich 

参考文献

  • E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press 1927.

関連項目

  • 表
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  • 編
  • 歴
積分法
計算法
  • 部分積分
  • 置換積分
  • 逆函数の積分（英語版）
  • 積分の順序（英語版）
  • 三角函数置換（英語版）
  • 部分分数分解を通じた積分（英語版）
  • 漸化式による積分
  • 媒介変数微分を用いた積分（英語版）
  • オイラーの公式を用いた積分（英語版）
  • 積分記号下の微分（英語版）
  • 複素線積分
広義積分
確率積分
  • 伊藤積分（英語版）
  • ストラトノヴィッチ積分（英語版）
  • スコロホッド積分（英語版）
数値積分
積分方程式