アーベル多項式

数学におけるアーベル多項式（アーベルたこうしき、英: Abel polynomials）とは、n 番目の項が

${\displaystyle p_{n}(x)=x(x-an)^{n-1}\,}$

であるような多項式列を構成する多項式のことを言う。ノルウェーの数学者ニールス・アーベル（1802 - 1829）の名にちなむ。

この多項式は二項型である。反対に、二項型であるようなすべての多項式列は、陰計算によってアーベル多項式列から得られる可能性がある。

a=1 に対し、アーベル多項式列は次のようになる（オンライン整数列大辞典の数列 A137452）。

${\displaystyle p_{0}(x)=1;}$

${\displaystyle p_{1}(x)=x;}$

${\displaystyle p_{2}(x)=-2x+x^{2};}$

${\displaystyle p_{3}(x)=9x-6x^{2}+x^{3};}$

${\displaystyle p_{4}(x)=-64x+48x^{2}-12x^{3}+x^{4};}$

a=2 に対しては、次のようになる。

${\displaystyle p_{0}(x)=1;}$

${\displaystyle p_{1}(x)=x;}$

${\displaystyle p_{2}(x)=-4x+x^{2};}$

${\displaystyle p_{3}(x)=36x-12x^{2}+x^{3};}$

${\displaystyle p_{4}(x)=-512x+192x^{2}-24x^{3}+x^{4};}$

${\displaystyle p_{5}(x)=10000x-4000x^{2}+600x^{3}-40x^{4}+x^{5};}$

${\displaystyle p_{6}(x)=-248832x+103680x^{2}-17280x^{3}+1440x^{4}-60x^{5}+x^{6};}$

• Gian-Carlo Rota; Jianhong (Jackie) Shen, Brian D. Taylor (1997). “All polynomials of binomial type are represented by Abel polynomials”. Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa - Classe di Scienze Sér. 4 25 (3–4): 731–738. MR1655539. Zbl 1003.05011. http://www.numdam.org/item?id=ASNSP_1997_4_25_3-4_731_0. 

• Weisstein, Eric W. "Abel Polynomial". mathworld.wolfram.com (英語).