アイゼンシュタインの既約判定法

アイゼンシュタインの既約判定法（アイゼンシュタインのきやくはんていほう、英: Eisenstein's criterion）は整係数の多項式が有理数体 ${\mathbb {Q} }$ 上で既約であるための十分条件を与える定理である。ゴットホルト・アイゼンシュタインが1850年に発表した論文が由来^[1]。20世紀初頭では、シェーネマン＝アイゼンシュタインの既約判定法とも呼ばれていた。これは、1846年にテオドル・シェーネマン（英語版）がこの定理を最初に発表した^[2]ことに由来する^[3]^[4]。

定理

P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{1}x+a_{0}

を整数係数の多項式とする。ある素数 p が存在して、整数 a₀, a₁, …, a_n が

i ≠ n の場合は a_i は p で割り切れる
a_n は p で割り切れない
a₀ は p² で割り切れない

を満たすならば、 $P(x)$ は有理数体 ${\mathbb {Q} }$ 上で既約である。

上の定理の係数環 $Z$ は一意分解環にまで一般化できる。即ち以下が成り立つ。証明は全く同様である。

A

を一意分解環、

K

をその商体とする。

P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{1}x+a_{0}

を $A$ 係数の多項式とする。ある $A$ の素元 p が存在して、a₀, a₁, …, a_n が

i ≠ n の場合は a_i は p で割り切れる
a_n は p で割り切れない
a₀ は p² で割り切れない

を満たすならば、 $P(x)$ は体 $K$ 上で既約である。

さらに係数環を整域にまで拡張できる（詳細は英語版を参照のこと）。

例

複素係数多項式 $X^{2}+Y^{2}-1$ は既約である。実際 $C[X]$ 係数の一変数多項式と見て素元として $X-1$ と選べばよい。

脚注

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^ Eisenstein (1850)
^ Schönemann (1846)
^ Cox (2011)
^ Dorwart (1935)

参考文献

Cox, David A. (2011), “Why Eisenstein proved the Eisenstein criterion and why Schönemann discovered it first”, American Mathematical Monthly 118 (1): 3-31, doi:10.4169/amer.math.monthly.118.01.003 .
Dorwart, H. L. (1935), “Irreducibility of polynomials”, American Mathematical Monthly 42 (6): 369-381, doi:10.2307/2301357, http://www.jstor.org/stable/2301357 .
Eisenstein, Gotthold (1850), “Über die Irredicibilität une einige andere Eigenschaften der Gleichung von welche der Theilung der ganzen Lemniscate abhängt”, Journal für die reine und angewandte Mathematik 1850 (39): 160-179, doi:10.1515/crll.1850.39.160 .
Garling, D.J.H. (1986), A Course in Galois Theory, Cambridge University Press, ISBN 0-521-31249-3 .
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Algebraic equation”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Algebraic_equation .
Schönemann, Theodor (1846), “Von denjenigen Moduln, welche Potenzen von Primzahlen sind”, Journal für die reine und angewandte Mathematik 1846 (32): 93-118, doi:10.1515/crll.1846.32.93 .
Schönemann, Theodor (1850), “Über einige von Herrn Dr. Eisenstein aufgestellte Lehrsätze, irreductible Congruenzen betreffend (S.182 Bd. 39 dieses Journals)”, Journal für die reine und angewandte Mathematik 1850 (40): 185-188, doi:10.1515/crll.1850.40.185 .