Teorema di convergenza di Vitali

In analisi funzionale e teoria della misura, il teorema di convergenza di Vitali, il cui nome si deve a Giuseppe Vitali, è una generalizzazione del più noto teorema della convergenza dominata di Henri Lebesgue. Risulta utile quando non è possibile trovare la funzione "dominante" per la successione di funzioni considerata (se invece è possibile, il teorema della convergenza dominata segue come caso particolare).

Sia ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ uno spazio di misura con misura positiva. Se:^[1]

• ${\displaystyle \mu (X)<\infty }$
• ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ è uniformemente integrabile
• ${\displaystyle f_{n}(x)\to f(x)}$ quasi ovunque per ${\displaystyle n\to \infty }$
• ${\displaystyle |f(x)|<\infty }$ quasi ovunque

allora si verifica:

• ${\displaystyle f\in L^{1}(\mu )}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}|f_{n}-f|d\mu =0}$

Viceversa, sia ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ uno spazio di misura con misura positiva. Se:^[1]

• ${\displaystyle \mu (X)<\infty }$
• ${\displaystyle f_{n}\in L^{1}(\mu )}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{E}f_{n}d\mu }$ esiste per ogni ${\displaystyle E\in {\mathcal {F}}}$

allora ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ è uniformemente integrabile.

Per mostrare che ${\displaystyle f\in L^{1}(\mu )}$ si usa il lemma di Fatou:

${\displaystyle \int _{X}|f|d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{X}|f_{n}|d\mu }$

Utilizzando l'integrabilità uniforme si ha che:

${\displaystyle \int _{E}|f_{n}|d\mu <1}$

dove ${\displaystyle E}$ è un insieme tale che ${\displaystyle \mu (E)<\delta }$. Per il teorema di Egorov, inoltre, ${\displaystyle {f_{n}}}$ converge uniformemente sull'insieme ${\displaystyle E^{C}}$. Si ha:

${\displaystyle \int _{E^{C}}|f_{n}-f_{p}|d\mu <1}$

per un ${\displaystyle p}$ abbastanza grande e per ogni ${\displaystyle n>p}$. Grazie alla disuguaglianza triangolare:

${\displaystyle \int _{E^{C}}|f_{n}|d\mu \leq \int _{E^{C}}|f_{p}|d\mu +1=M}$

Applicando tale limite sul membro di destra del lemma di Fatou si ottiene quindi che ${\displaystyle f\in L^{1}(\mu )}$.

Per mostrare che ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}|f_{n}-f|d\mu =0}$ si utilizza il fatto che:

${\displaystyle \int _{X}|f-f_{n}|d\mu \leq \int _{E}|f|d\mu +\int _{E}|f_{n}|d\mu +\int _{E^{C}}|f-f_{n}|d\mu }$

dove ${\displaystyle E\in X}$ e ${\displaystyle \mu (E)<\delta }$. I termini al membro di destra sono limitati rispettivamente per quanto detto sopra, per l'integrabilità uniforme di ${\displaystyle f_{n}}$, e per il teorema di Egorov (per tutti gli ${\displaystyle n>N}$).

• (EN) Gerald B. Folland, Real analysis, Pure and Applied Mathematics (New York), Second edition, New York, John Wiley & Sons Inc., 1999, pp. xvi+386, ISBN 0-471-31716-0.
• (EN) Jeffrey S. Rosenthal, A first look at rigorous probability theory, Second edition, Hackensack, NJ, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2006, pp. xvi+219, ISBN 978-981-270-371-2.

• Integrabilità uniforme
• Teorema della convergenza dominata

• (EN) Vitali convergence theorem, in PlanetMath.

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