In analisi funzionale e teoria della misura, il teorema di convergenza di Vitali, il cui nome si deve a Giuseppe Vitali, è una generalizzazione del più noto teorema della convergenza dominata di Henri Lebesgue. Risulta utile quando non è possibile trovare la funzione "dominante" per la successione di funzioni considerata (se invece è possibile, il teorema della convergenza dominata segue come caso particolare).
Il teorema
Sia
uno spazio di misura con misura positiva. Se:[1]
![{\displaystyle \mu (X)<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de0bc9eed91c34170e3c4055a7a3643d38325471)
è uniformemente integrabile
quasi ovunque per ![{\displaystyle n\to \infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0d55d9b32f6fa8fab6a84ea444a6b5a24bb45e1)
quasi ovunque
allora si verifica:
![{\displaystyle f\in L^{1}(\mu )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bf55607e0f54b715f026002f5621f45878b5da2)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}|f_{n}-f|d\mu =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31de66181f6bd1cb237ed516fa7ab3a959635cf0)
Viceversa, sia
uno spazio di misura con misura positiva. Se:[1]
![{\displaystyle \mu (X)<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de0bc9eed91c34170e3c4055a7a3643d38325471)
![{\displaystyle f_{n}\in L^{1}(\mu )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdea2a3e53b3109565967452efa1d950a68c8589)
esiste per ogni ![{\displaystyle E\in {\mathcal {F}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86edaa69fff2856eaf6991e53e8355a317a0d5d8)
allora
è uniformemente integrabile.
Dimostrazione
Per mostrare che
si usa il lemma di Fatou:
![{\displaystyle \int _{X}|f|d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{X}|f_{n}|d\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfa4b29cb7daf30534ef3665b67a00e4eb879879)
Utilizzando l'integrabilità uniforme si ha che:
![{\displaystyle \int _{E}|f_{n}|d\mu <1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/226b6886ae4ba02ce7a9e0558d5f86cb9dcee144)
dove
è un insieme tale che
. Per il teorema di Egorov, inoltre,
converge uniformemente sull'insieme
. Si ha:
![{\displaystyle \int _{E^{C}}|f_{n}-f_{p}|d\mu <1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74d5419974f75f5e8534121e899b38b7e8543bf2)
per un
abbastanza grande e per ogni
. Grazie alla disuguaglianza triangolare:
![{\displaystyle \int _{E^{C}}|f_{n}|d\mu \leq \int _{E^{C}}|f_{p}|d\mu +1=M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4095a5e100a15923a3b169860b6e4c5edfcad707)
Applicando tale limite sul membro di destra del lemma di Fatou si ottiene quindi che
.
Per mostrare che
si utilizza il fatto che:
![{\displaystyle \int _{X}|f-f_{n}|d\mu \leq \int _{E}|f|d\mu +\int _{E}|f_{n}|d\mu +\int _{E^{C}}|f-f_{n}|d\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ef4b96724440cde98bd39be4259205af88efd8a)
dove
e
. I termini al membro di destra sono limitati rispettivamente per quanto detto sopra, per l'integrabilità uniforme di
, e per il teorema di Egorov (per tutti gli
).
Note
- ^ a b Walter Rudin, Real and Complex Analysis, 1986, p. 133, ISBN 978-0-07-054234-1.
Bibliografia
- (EN) Gerald B. Folland, Real analysis, Pure and Applied Mathematics (New York), Second edition, New York, John Wiley & Sons Inc., 1999, pp. xvi+386, ISBN 0-471-31716-0.
- (EN) Jeffrey S. Rosenthal, A first look at rigorous probability theory, Second edition, Hackensack, NJ, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2006, pp. xvi+219, ISBN 978-981-270-371-2.
Voci correlate
Collegamenti esterni
- (EN) Vitali convergence theorem, in PlanetMath.
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