Teorema di Kato-Rellich

il teorema di Kato-Rellich è un risultato di teoria degli operatori che trova ampia applicazione nella meccanica quantistica. Tale teorema dimostra che la somma di un operatore autoaggiunto e un operatore simmetrico, sotto opportune ipotesi, è un operatore autoaggiunto. Raramente questo risultato viene applicato per generare nuovi operatori autoaggiunti, piuttosto viene impiegato per dimostrare l'autoaggiuntezza di un operatore decomponendolo nella somma di due operatori che sono o noti o comunque più semplici da studiare.

Siano ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ due operatori definiti rispettivamente nei domini ${\displaystyle {\mathcal {D}}(A)}$ e ${\displaystyle {\mathcal {D}}(B)}$. Si dice che ${\displaystyle B}$ è ${\displaystyle A}$-limitato se il dominio di ${\displaystyle A}$ è un sottoinsieme del domino di ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle {\mathcal {D}}(A)\subset {\mathcal {D}}(B)}$, ed esistono due costanti positive ${\displaystyle a,b>0}$ tali che

${\displaystyle \Vert B\psi \Vert \leq a\Vert A\psi \Vert +b\Vert \psi \Vert ,\;\forall \psi \in {\mathcal {D}}(A).}$ ^[1]

Sia ${\displaystyle A}$ un operatore (essenzialmente) autoaggiunto e sia ${\displaystyle B}$ un operatore simmetrico, A-limitato con ${\displaystyle a<1}$. Allora, ${\displaystyle A+B}$ è (essenzialmente) autoaggiunto sul dominio ${\displaystyle {\mathcal {D}}(A+B)={\mathcal {D}}(A)}$.^[2]

Grazie al teorema di Kato-Rellich si può dimostrare quanto segue:

Sia ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ fissato e sia ${\displaystyle V=V_{p}+V_{\infty }}$ con ${\displaystyle V_{p}}$ l'operatore di moltiplicazione per la funzione ${\displaystyle f\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$, dove ${\displaystyle p=2}$ se ${\displaystyle 1\leq n\leq 3}$, ${\displaystyle p>2}$ se ${\displaystyle n=4}$ e ${\displaystyle p={\frac {n}{2}}}$ se ${\displaystyle n>4}$, e ${\displaystyle V_{\infty }}$l'operatore di moltiplicazione per la funzione ${\displaystyle g\in L^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$. Allora vale:

• ${\displaystyle -\Delta +V}$ è essenzialmente autoaggiunto sullo spazio delle funzioni test ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}$ e sullo spazio di schwartz ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$;
• l'unica estensione autoaggiunta ${\displaystyle {\overline {-\Delta +V}}}$ è l'operatore ${\displaystyle -{\bar {\Delta }}+V}$ sul dominio ${\displaystyle {\mathcal {D}}({\bar {\Delta }})}$;
• lo spettro ${\displaystyle \sigma ({\overline {-\Delta +V}})}$ è limitato dal basso.^[3]

Questo teorema è importante in meccanica quantistica in quanto permette di dimostrare in maniera semplice l'autoaggiunzione di molti operatori hamiltoniani quantistici in quanto essi sono della forma ${\displaystyle -\Delta +V.}$

• Andrea Sacchetti, Note del corso di Metodi Matematici della Meccanica Quantistica (PDF), Università di Modena, 2014.
• Valter Moretti, Spectral Theory and Quantum mechanics 2nd English edition. Springer Science & Business Media, 2017.

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• Teoria degli operatori
• Operatore autoaggiunto