Spazio vettoriale simplettico

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In algebra lineare, uno spazio vettoriale simplettico è uno spazio vettoriale reale ${\displaystyle V}$ di dimensione pari dotato di una funzione

${\displaystyle \omega :V\times V\to \mathbb {R} }$

tale che, per ogni ${\displaystyle v,v',w,w'}$ in ${\displaystyle V}$ e per ogni ${\displaystyle \lambda ,\mu }$ in ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \omega (\lambda v+\mu v',w)=\lambda \omega (v,w)+\mu \omega (v',w)}$

${\displaystyle \omega (v,\lambda w+\mu w')=\lambda \omega (v,w)+\mu \omega (v,w')}$

${\displaystyle \omega (v,v)=0}$

${\displaystyle \omega (v,w)=0}$ per ogni ${\displaystyle w}$ implica ${\displaystyle v=0}$

In altre parole, ${\displaystyle \omega }$ è una forma bilineare antisimmetrica non degenere, detta prodotto antiscalare o simplettico. Lo spazio ${\displaystyle V}$ munito della forma ${\displaystyle \omega }$ si dice anche munito di struttura simplettica.

Fissata una base, ${\displaystyle \omega }$ si può rappresentare secondo una matrice di trasformazione che dovrà essere necessariamente antisimmetrica e non singolare. La dimensione dello spazio è necessariamente pari perché si dimostra che non esistono matrici antisimmetriche invertibili di dimensione dispari. Infatti, sia ${\displaystyle M}$ la matrice di dimensione ${\displaystyle m\times m}$ , con ${\displaystyle m=\dim V}$,che rappresenta la forma bilineare ${\displaystyle \omega }$ in un qualche base, ovvero

${\displaystyle \omega (u,v)=u^{\text{T}}Mv\qquad \forall \ u,v\in V}$

Allora, dal momento che la forma ${\displaystyle \omega }$ è antisimmetrica anche ${\displaystyle M}$ lo sarà e dunque

${\displaystyle \det W=\det W^{\text{T}}=(-1)^{m}\det W}$

dove nella prima uguaglianza si è usata la formula di Binet. Dal momento che ${\displaystyle W}$ è invertibile vale ${\displaystyle \det M\neq 0}$, e quindi dalla precedente espressione si evince che ${\displaystyle m=2n}$, e quindi la dimensione dello spazio simplettico è necessariamente pari.

Dato uno spazio vettoriale simplettico ${\displaystyle (V,\omega )}$ di dimensione ${\displaystyle 2n}$ la base ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n},\mathbf {f} _{1},\dots ,\mathbf {f} _{n}\}}$

tale che

${\displaystyle \omega (\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j})=0\qquad \omega (\mathbf {f} _{i},\mathbf {f} _{j})=0\qquad \omega (\mathbf {e} _{i},\mathbf {f} _{j})=\delta _{ij}}$

per ogni ${\displaystyle i,j=1,\dots ,n}$ è detta base simplettica canonica. In tale base il prodotto simplettico diviene

${\displaystyle \omega (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\mathbf {u} ^{\text{T}}J\mathbf {v} }$

dove ${\displaystyle J}$ è la matrice a blocchi data da

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}\mathbf {0} _{n}&\mathbf {I} _{n}\\-\mathbf {I} _{n}&\mathbf {0} _{n}\end{bmatrix}}}$

detta matrice unità simplettica.

La matrice ${\displaystyle J}$ soddisfa alcune proprietà, quali

• ${\displaystyle J^{2}=-\mathbf {I} _{2n}}$
• ${\displaystyle J^{\text{T}}=J^{-1}=-J}$
• ${\displaystyle \det J=1}$

Si può dimostrare che ogni spazio vettoriale simplettico ammette una base simplettica canonica.

Dato uno spazio vettoriale simplettico ${\displaystyle (V,\omega )}$ ed un suo sottospazio vettoriale ${\displaystyle W}$, possiamo definire il complemento ortogonale simplettico di ${\displaystyle W}$ come

${\displaystyle W^{\perp }=\{\mathbf {u} \in V{\mbox{ tali che }}\omega (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=0\ \forall \ \mathbf {v} \in W\}}$

Allora il sottospazio ${\displaystyle W}$ si dice

• Isotropo se ${\displaystyle W\subset W^{\perp }}$
• Lagrangiano (o massimalmente isotropo) se ${\displaystyle W=W^{\perp }}$
• Coisotropo se ${\displaystyle W\supset W^{\perp }}$

Se ${\displaystyle \dim V=2n}$, allora la dimensione degli spazi isotropi è compresa tra ${\displaystyle 0}$ e ${\displaystyle n-1}$, quella degli spazi coisotropi tra ${\displaystyle n+1}$ e ${\displaystyle 2n}$ e quella degli spazi Lagrangiani è necessariamente ${\displaystyle n}$.

La forma simplettica è identicamente nulla sugli spazi isotropi o lagrangiani

${\displaystyle \omega (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=0\qquad \forall \ \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in W{\mbox{ isotropo o lagrangiano}}}$

Dato lo spazio vettoriale ${\displaystyle V=\operatorname {span} \{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {f} _{1},\mathbf {f} _{2}\}}$ dotato della forma simplettica standard, il sottospazio ${\displaystyle W=\operatorname {span} \{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{1}\}}$ è lagrangiano.

Un simplettomorfismo tra due spazi vettoriali simplettici ${\displaystyle (V_{1},\omega _{1})}$ e ${\displaystyle (V_{2},\omega _{2})}$ è un isomorfismo lineare ${\displaystyle \phi :V_{1}\to V_{2}}$ tale che ${\displaystyle \phi ^{*}\omega _{2}=\omega _{1}}$.

In altre parole, questo significa che se vale

${\displaystyle \omega _{2}(\phi (\mathbf {u} ),\phi (\mathbf {v} ))=\omega _{1}(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}$

per ogni coppia di vettori ${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V_{1}}$, allora ${\displaystyle \phi }$ è un simplettomorfismo. In tal caso i due spazi si dicono simplettomorfi.

Si può dimostrare che, dato un qualsiasi spazio vettoriale simplettico ${\displaystyle (V,\omega )}$ di dimensione ${\displaystyle 2n}$, questo è simplettomorfo a ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2n},\omega _{0})}$, dove ${\displaystyle \omega _{0}}$ è la forma simplettica standard.

• Ralph Abraham e Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, capitolo 3, London ISBN 0-8053-0102-X.
• Dusa McDuff e D. Salamon, Introduction to Symplectic Topology (1998) Oxford Mathematical Monographs, ISBN 0-19-850451-9.

• Matrice simplettica
• Gruppo simplettico
• Matrice anti-hamiltoniana

• Introduzione alla geometria simplettica (PDF), su alpha01.dm.unito.it. URL consultato il 6 marzo 2009 (archiviato dall'url originale il 21 settembre 2006).
• Strutture di Poisson e strutture complesse (PDF), su caressa.it.

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