Sommazione per parti

In matematica, la sommazione per parti, anche chiamata trasformazione (o lemma) di Abel, è un procedimento che permette di scrivere in un altro modo la somma (finita o infinita) del prodotto di due successioni, consentendo così di avere una stima sul comportamento della serie in termini di convergenza.

Siano ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ e ${\displaystyle \{b_{n}\}}$ due successioni, e sia

${\displaystyle A_{n}=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}}}$

la somma parziale ${\displaystyle n}$-esima di ${\displaystyle \{a_{n}\}}$, e si ponga ${\displaystyle A_{-1}=0}$. Vale allora l'eguaglianza^[1]:

${\displaystyle \sum _{i=m}^{n}{a_{i}b_{i}}=A_{n}b_{n}-A_{m-1}b_{m}+\sum _{i=m}^{n-1}{A_{i}(b_{i}-b_{i+1})}}$.

Una formulazione equivalente può essere espressa con l'operatore differenza in avanti ${\displaystyle \Delta {b_{n}}:=b_{n+1}-b_{n}}$:

${\displaystyle \sum _{i=m}^{n}{b_{i}\Delta {A_{i-1}}}=A_{n}b_{n}-A_{m-1}b_{m}-\sum _{i=m}^{n-1}{A_{i}\Delta {b_{i}}}}$,

che evidenzia l'analogia tra questa formula e quella di integrazione per parti:

${\displaystyle \int _{a}^{b}{f(x)d(g(x))}=g(b)f(b)-g(a)f(a)-\int _{a}^{b}{g(x)d(f(x))}}$.

La dimostrazione fa uso soltanto di operazioni algebriche, il che rende la formula valida in qualunque campo. Il lemma continua a valere anche quando una successione abbia elementi in uno spazio vettoriale sul campo ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$, e l'altra in ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$.

Per la definizione di ${\displaystyle \{A_{n}\}}$, si ha^[1]:

${\displaystyle \sum _{i=m}^{n}{a_{i}b_{i}}=\sum _{i=m}^{n}{(A_{i}-A_{i-1})b_{i}}=\sum _{i=m}^{n}{A_{i}b_{i}}-\sum _{i=m-1}^{n-1}{A_{i}b_{i+1}}=}$

${\displaystyle =\left(A_{n}b_{n}+\sum _{i=m}^{n-1}{A_{i}b_{i}}\right)-\left(\sum _{i=m}^{n-1}{A_{i}b_{i+1}}+A_{m-1}b_{m}\right)=A_{n}b_{n}-A_{m-1}b_{m}+\sum _{i=m}^{n-1}{A_{i}(b_{i}-b_{i+1})}}$,

cioè la tesi, Q.E.D.

Lo stesso argomento in dettaglio: Criterio di Dirichlet (matematica).

Il lemma di Abel viene usato per provare il criterio di Dirichlet per la convergenza di serie^[2].

Lo stesso argomento in dettaglio: Criterio di Leibniz.

Il criterio di Leibniz può essere dimostrato in modo elementare come corollario del criterio di Dirichlet.

• (EN) W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, A. A. Arthur, S. L. Langman, 1976, p. 70, ISBN 0-07-054235-X.

• Integrazione per parti
• Serie convergente