In matematica, la sommazione per parti, anche chiamata trasformazione (o lemma) di Abel, è un procedimento che permette di scrivere in un altro modo la somma (finita o infinita) del prodotto di due successioni, consentendo così di avere una stima sul comportamento della serie in termini di convergenza.
Enunciato del lemma
Siano
e
due successioni, e sia
![{\displaystyle A_{n}=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aef30e81b2ad6cdefa8dac670f83401bc0457895)
la somma parziale
-esima di
, e si ponga
. Vale allora l'eguaglianza[1]:
.
Una formulazione equivalente può essere espressa con l'operatore differenza in avanti
:
,
che evidenzia l'analogia tra questa formula e quella di integrazione per parti:
.
Dimostrazione
La dimostrazione fa uso soltanto di operazioni algebriche, il che rende la formula valida in qualunque campo. Il lemma continua a valere anche quando una successione abbia elementi in uno spazio vettoriale sul campo
, e l'altra in
.
Per la definizione di
, si ha[1]:
![{\displaystyle \sum _{i=m}^{n}{a_{i}b_{i}}=\sum _{i=m}^{n}{(A_{i}-A_{i-1})b_{i}}=\sum _{i=m}^{n}{A_{i}b_{i}}-\sum _{i=m-1}^{n-1}{A_{i}b_{i+1}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e236462da03540be4eac84b803e716662124fbc2)
,
cioè la tesi, Q.E.D.
Teoremi derivati
Criterio di Dirichlet per le serie
Lo stesso argomento in dettaglio: Criterio di Dirichlet (matematica). Il lemma di Abel viene usato per provare il criterio di Dirichlet per la convergenza di serie[2].
Criterio di Leibniz per le serie
Lo stesso argomento in dettaglio: Criterio di Leibniz. Il criterio di Leibniz può essere dimostrato in modo elementare come corollario del criterio di Dirichlet.
Note
Bibliografia
- (EN) W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, A. A. Arthur, S. L. Langman, 1976, p. 70, ISBN 0-07-054235-X.
Voci correlate
- Integrazione per parti
- Serie convergente