Semimartingala

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In teoria della probabilità, un processo stocastico reale è detto semimartingala se può essere decomposto nella somma di una martingala locale e di un processo adattato a variazione finita. La classe delle semimartingale è il più grande insieme di processi rispetto a cui è possibile definire l'integrale di Itō. Essa comprende parecchi processi, tra cui, per esempio, ogni processo continuo e differenziabile, il moto browniano e il processo di Poisson. Inoltre, martingale, submartingale e supermartingale fanno tutte parte di questa classe.

Un processo stocastico reale ${\displaystyle X}$ definito su uno spazio di probabilità filtrato ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0},\mathbb {P} )}$ è detto semimartingala se può essere decomposto come

${\displaystyle X_{t}=M_{t}+A_{t}}$

dove ${\displaystyle M}$ è una martingala locale e ${\displaystyle A}$ è un processo adattato càdlàg.

Un processo stocastico ${\displaystyle X=(X_{1},\dots ,X_{n})}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ è una semimartingala se lo è ogni sua componente ${\displaystyle X_{i}}$.

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