Punti di Brocard
terzo punto di Brocard | |
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Codice ETC | 76 |
Coniugato isotomico | punto di Lemoine |
Coordinate baricentriche | |
λ1 | 1/a2 |
λ2 | 1/b2 |
λ3 | 1/c2 |
Coordinate trilineari | |
x | 1/a3 |
y | 1/b3 |
z | 1/c3 |
Manuale |
In geometria, i punti di Brocard sono speciali punti di un triangolo.
Prendono il nome da Henri Brocard.
Definizioni
Il primo punto di Brocard di un triangolo con vertici A, B, C e lati opposti a, b, c è definito come l'unico punto P tale che i segmenti AP, BP e CP formano lo stesso angolo con i lati c, a, b, cioè
Inoltre, detto ω tale angolo e α, β, γ gli angoli corrispondenti ai vertici A, B, C, vale la seguente uguaglianza:
Il secondo punto di Brocard del triangolo è definito come l'unico punto tale che i segmenti AQ, BQ, CQ formano lo stesso angolo con i lati b, c, a, cioè
e tale angolo risulta essere lo stesso dell'angolo ω relativo al primo punto di Brocard P.
La differenza tra i due punti ricade evidentemente nell'ordine con cui sono presi gli angoli del triangolo: il primo punto di Brocard di ABC coincide con il secondo punto di Brocard di ACB.
I due punti di Brocard di uno triangolo sono coniugati isogonali.
Il terzo punto di Brocard, dato dalle trilineari a-3 : b-3 : c-3 o anche da csc(A − ω) : csc(B − ω) : csc(C − ω), è il punto medio dei punti di Brocard del triangolo anticomplementare ed è il coniugato isotomico del punto simedianico del triangolo.
Costruzione
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f4/BrocardPunkt1.png/400px-BrocardPunkt1.png)
Si può costruire il primo punto di Brocard in una maniera molto elegante, rappresentata nella figura a fianco: si intersechi l'asse di AB con la perpendicolare a BC passante per B. Si tracci un cerchio avente centro in questo punto che passi per B; tale cerchio passerà anche per A. Si ripeta la costruzione similmente con gli altri lati: i tre cerchi avranno un punto d'intersezione, che corrisponderà con il primo punto di Brocard di ABC.
Proprietà
Le coordinate trilineari dei punti di Brocard sono rispettivamente c/b : a/c : b/a e b/c : c/a : a/b. Essi sono un esempio di coppia bicentrica di punti, ma non di centri triangolari. Il loro punto medio ha coordinate sin(A + ω) : sin(B + ω) : sin(C + ω) ed al contrario è un centro triangolare.
Voci correlate
- Cerchio di Brocard
- Figure di Brocard
- Teorema di Alasia
Collegamenti esterni
- Terzo punto di Brocard su MathWorld
- Coppie bicentriche di punti e centri triangolari relativi (PDF), su forumgeom.fau.edu.
- Coppie bicentriche di punti, su faculty.evansville.edu.
- Punti bicentrici su MathWorld
- (EN) Clark Kimberling, X39, in Encyclopedia of Triangle Centers, University of Evansville, 22 ottobre 2013.
- (EN) Clark Kimberling, X76, in Encyclopedia of Triangle Centers, University of Evansville, 22 ottobre 2013.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/af/Crystal128-kmplot.svg/25px-Crystal128-kmplot.svg.png)