Proiettività

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In geometria proiettiva, una proiettività è una corrispondenza biunivoca tra punti di uno spazio proiettivo.

In geometria descrittiva è definita come una corrispondenza tra punti dello spazio euclideo, ottenuta per composizione di prospettività, ovvero tramite una successione finita di proiezioni rispetto ad un centro e sezioni con un piano. Un esempio di proiettività è l'omologia, ottenuta come composizione di due prospettività tra gli stessi due piani.

In geometria proiettiva, una proiettività non è altro che una trasformazione di punti dello spazio proiettivo. Ad esempio, sulla retta proiettiva ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$, la trasformazione assume la forma:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\rho x'_{0}=a_{00}x_{0}+a_{01}x_{1}\\\rho x'_{1}=a_{10}x_{0}+a_{11}x_{1}\end{matrix}}\right.}$

dove ${\displaystyle (x_{0}:x_{1})}$ e ${\displaystyle (x\prime _{0}:x\prime _{1})}$ sono due punti della retta proiettiva, ρ è un parametro reale diverso da 0, e a₀₀, a₀₁, a₁₀, a₁₁ sono quattro parametri reali tali che a₀₀a₁₁ – a₁₀a₀₁ è non nullo (altrimenti la trasformazione non sarebbe biunivoca). La presenza del fattore ρ è dovuta al fatto che le coordinate proiettive (x₀ : x₁) sono date a meno di un fattore moltiplicativo reale non nullo (ovvero (x₀ : x₁) = (ρx₀ : ρx₁).

In coordinate affini, l'equazione della proiettività diventa:

${\displaystyle x^{\prime }={\frac {a_{00}+a_{01}x}{a_{10}+a_{11}x}}}$

(con x = x₁/x₀ e x' = x'₁/x'₀)

Sulla retta proiettiva, viene inoltre mantenuto il birapporto tra punti corrispondenti. In altre parole, chiamati A, B, C e D quattro punti sulla retta proiettiva e A', B', C', D' i loro trasformati, si ha che:

${\displaystyle (ABCD)=(A^{\prime }B^{\prime }C^{\prime }D^{\prime })}$

ovvero

${\displaystyle {\frac {AC \over BC}{AD \over BD}}={\frac {A^{\prime }C^{\prime } \over B^{\prime }C^{\prime }}{A^{\prime }D^{\prime } \over B^{\prime }D^{\prime }}}}$

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