Operatore unitario
In geometria, un operatore unitario, detto anche trasformazione unitaria, è un isomorfismo tra due spazi di Hilbert che conserva il prodotto scalare, e si tratta pertanto della generalizzazione del concetto di isometria al campo complesso.
Gli operatori unitari su spazi di Hilbert finito-dimensionali costituiscono l'insieme delle matrici unitarie. Nel caso possiedano tutti gli elementi reali, le matrici unitarie sono dette matrici ortogonali e sono corrispondenti agli operatori unitari su .
Definizione
Si definisce operatore unitario un isomorfismo tra due spazi di Hilbert che conserva il prodotto scalare:[1]
In modo equivalente, un operatore unitario è un operatore tale che:
dove si indica con l'aggiunto dell'operatore .
In particolare, la norma di un operatore unitario è unitaria:
In spazi vettoriali a dimensione finita la suriettività è garantita dal fatto che un operatore unitario è un isomorfismo, e da essa discende l'invertibilità.
Spettro
Lo spettro di un operatore unitario giace sulla circonferenza unitaria, ovvero per ogni numero nello spettro si ha . Questo fatto può essere visto come una conseguenza del teorema spettrale per operatori normali, che stabilisce che è unitariamente equivalente alla moltiplicazione per una funzione misurabile rispetto alla sigma-algebra di uno spazio di misura finito con misura di Borel . Allora, dal momento che implica quasi ovunque rispetto a , lo spettro essenziale di , e dunque lo spettro di , è contenuto nella circonferenza unitaria.
Linearità
La linearità di un operatore unitario può essere derivata a partire dalla linearità del prodotto interno definito positivo:
In modo analogo si ottiene:
Note
- ^ Reed, Simon, Pag. 39.
Bibliografia
- Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
- (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
- (EN) Serge Lang, Differential manifolds, Reading, Mass.–London–Don Mills, Ont., Addison-Wesley Publishing Co., Inc., 1972.
- (EN) Paul Halmos, A Hilbert space problem book, Springer, 1982.
Voci correlate
- Isomorfismo
- Matrice invertibile
- Matrice trasposta coniugata
- Operatore aggiunto
- Operatore autoaggiunto
Collegamenti esterni
- (EN) Eric W. Weisstein, Operatore unitario, su MathWorld, Wolfram Research.
- (EN) V.I. Sobolev, Unitary operator, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
- (EN) V.I. Sobolev, Unitarily-equivalent operators, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
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