Matrice anti-hamiltoniana

In algebra lineare, le matrici anti-hamiltoniane sono speciali matrici che corrispondono a forme bilineari antisimmetriche su uno spazio vettoriale simplettico.

Sia ${\displaystyle e_{1},...e_{2n}}$ una base in V, tale che ${\displaystyle \Omega }$ si esprimibile come ${\displaystyle \sum _{i}e_{i}\wedge e_{n+i}}$. Quindi un operatore lineare è antihamiltoniano rispetto a ${\displaystyle \Omega }$ se e solo se la sua matrice A soddisfa ${\displaystyle A^{T}J=JA}$, dove J è la matrice antisimmetrica

Sia V uno spazio vettoriale, di dimensione pari, fornito di forma simplettica ${\displaystyle \Omega }$. Una mappa lineare ${\displaystyle A:\;V\mapsto V}$ è detta operatore antihamiltoniano rispetto a ${\displaystyle \Omega }$ se la forma ${\displaystyle x,y\mapsto \Omega (A(x),y)}$ è antisimmetrica.

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{bmatrix}}}$

e I_n è la matrice identità di diemnsioni ${\displaystyle n\times n}$ ^[1]. Tali matrici sono definite antihamiltoniane.

• La radice di una matrice hamiltoniana è antihamiltoniana.
• Ogni matrice antihamiltoniana può essere ottenuta come la radice di una matrice hamiltoniana ^[1][2].

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