Integrale di Riemann-Stieltjes
In analisi matematica, l'integrale di Riemann-Stieltjes è una generalizzazione dell'integrale di Riemann. L'integrale prende il nome dai matematici Bernhard Riemann e Thomas Joannes Stieltjes.
Una generalizzazione di questo operatore è data dall'integrale di Lebesgue-Stieltjes.
Definizione
Date due funzioni di variabile reale , sia una partizione dell'intervallo . Da ognuno dei sottointervalli definiti dalla partizione si consideri un punto . Il calibro della partizione è la massima ampiezza tra i sottointervalli della partizione:
L'integrale di Riemann-Stieltjes di rispetto a , denotato da:
è definito come il seguente limite:
se esso esiste indipendentemente dalla scelta dei punti . La funzione è definita integranda, mentre è la funzione integratrice.
Esistono diversi teoremi riguardanti l'esistenza del limite sopra definito; la condizione di esistenza più semplice stabilisce che la funzione integranda sia continua, e la funzione integratrice sia a variazione limitata; quest'ultima condizione equivale a chiedere che sia la differenza di due funzioni monotone. Un'altra condizione di esistenza è che le due funzioni non condividano alcuno punto di discontinuità.
Legami con gli altri tipi di integrali
Perché l'integrale sopra definito esista, sono richieste condizioni più deboli rispetto a quelle dell'integrale di Riemann. Se la funzione è di classe , ovvero derivabile e con derivata continua, l'integrale sopra definito coincide con l'integrale di Riemann:
In generale, tuttavia, la funzione integratrice può presentare discontinuità di salto o altre irregolarità che rendono impossibile utilizzare l'espressione che contiene la sua derivata (come ad esempio nel caso della funzione di Cantor). È così possibile estendere la nozione di integrabilità anche a molti casi non trattabili tramite l'integrale di Riemann. Inoltre, per l'integrale di Riemann-Stieltjes valgono tutte le usuali proprietà dell'integrale di Riemann.
È possibile estendere ancora la classe delle funzioni integrabili, considerando l'integrale di Lebesgue; tuttavia se si ammettono integrali impropri, quest'ultimo non può essere considerato in senso stretto come una generalizzazione dell'integrale di Riemann-Stieltjes. L'integrale di Lebesgue-Stieltjes costituisce la generalizzazione degli integrali di Riemann-Stieltjes e Lebesgue.
Applicazioni
L'integrale di Riemann-Stiltjes trova applicazione in molti campi della matematica e della fisica, laddove si incontrano funzioni non integrabili secondo Riemann.
Fisica
In fisica è possibile esprimere numerose quantità per mezzo di integrali; ad esempio, la massa di un oggetto può essere espressa come somma infinita delle infinitesime masse che la compongono, o del prodotto tra densità e volume:
La prima espressione ha tuttavia significato solo se la massa ha una distribuzione continua nello spazio; la seconda, se calcolata come integrale di Riemann-Stieltjes, consente di dare significato all'integrale anche nel caso di distribuzioni di massa discontinue (ad esempio puntiformi).
Distribuzioni di probabilità
Si consideri una funzione di ripartizione di una variabile aleatoria ; la derivata di è la sua densità di probabilità. Data una funzione per cui il valore atteso è finito, vale la formula:
Se per la variabile aleatoria non è possibile definire una funzione di densità di probabilità (ad esempio se ha una distribuzione discreta), non è possibile applicare la formula precedente; utilizzando l'integrale di Riemann-Stieltjes, si può invece esprime il valore atteso di come:
per qualunque distribuzione cumulativa di probabilità.
Analisi funzionale
Lo spazio duale dello spazio di Banach delle funzioni continue sull'intervallo si può rappresentare come lo spazio formato dagli integrali di Riemann-Stieltjes rispetto a funzioni a variazione limitata.
Bibliografia
- (EN) Georgii Evgen'evich Shilov, B. L. Gurevich, Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Dover Publications, 1978, ISBN 0-486-63519-8.
- (EN) Daniel W. Stroock, A Concise Introduction to the Theory of Integration, 3ª ed., Birkhauser, 1998, ISBN 0-8176-4073-8.
Voci correlate
Collegamenti esterni
- (EN) Eric W. Weisstein, Integrale di Riemann-Stieltjes, su MathWorld, Wolfram Research.
Controllo di autorità | Thesaurus BNCF 57355 · LCCN (EN) sh85067114 · BNF (FR) cb131634255 (data) · J9U (EN, HE) 987007555632605171 |
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