Immersione continua

In matematica, un'immersione continua di uno spazio normato in un altro spazio normato avviene per mezzo di una funzione di inclusione continua tra i due spazi. Si dice che il primo spazio è immerso continuamente o con continuità nel secondo. Diversi teoremi di immersione di Sobolev sono teoremi di immersione continua.

Siano ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ due spazi normati, con norme ${\displaystyle \|\cdot \|_{X}}$ e ${\displaystyle \|\cdot \|_{Y}}$ rispettivamente, tali che ${\displaystyle X\subseteq Y}$. Se la funzione d'inclusione:

${\displaystyle i:X\hookrightarrow Y:x\mapsto x}$

è continua, cioè se esiste una costante ${\displaystyle C\geq 0}$ tale che:

${\displaystyle \|x\|_{Y}\leq C\|x\|_{X}}$

per ogni ${\displaystyle x\in X}$, allora ${\displaystyle X}$ è immerso continuamente in ${\displaystyle Y}$.

• (EN) Rennardy, M., & Rogers, R.C., An Introduction to Partial Differential Equations, Springer-Verlag, Berlin, 1992, ISBN 3-540-97952-2.

• Immersione compatta
• Spazio di Banach
• Spazio di Sobolev

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