Funzioni di Struve modificate

In matematica le funzioni di Struve modificate sono funzioni speciali strettamente collegate alle funzioni di Struve e alle funzioni di Bessel sferiche modificate.

Si tratta delle funzioni:

\mathbf {L} _{\nu }(z)=\left({\frac {z}{2}}\right)^{\nu +1}\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {({\frac {z}{2}})^{2k}}{\Gamma (k+{\frac {3}{2}})\Gamma (\nu +k+{\frac {3}{2}})}}={\frac {2\left({\frac {z}{2}}\right)^{\nu }}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma (\nu +1/2)}}\int _{0}^{\pi /2}\sinh(z\cos \theta )\sin ^{2\nu }\theta d\theta

In particolare:

\mathbf {L} _{0}(z)={\frac {2}{\pi }}\,z\,\left[1+\sum _{k=1}^{\infty }\prod _{j=1}^{k}\left({\frac {z}{2j+1}}\right)^{2}\right]

\mathbf {L} _{1}(z)={\frac {2}{\pi }}\,\sum _{k=1}^{\infty }\prod _{j=1}^{k}{\frac {z^{2}}{4j^{2}-1}}

dove $\Gamma (z)$ è la funzione Gamma. Sono legate con le funzioni di Struve ordinarie $\mathbf {H} _{\nu }(iz)$ dalla relazione:

\mathbf {L} _{\nu }(z):=-ie^{-i\nu \pi /2}\mathbf {H} _{\nu }(iz)

Bibliografia

(EN) Y. L. Luke (1962): Integrals of Bessel functions, McGraw-Hill
(EN) Milton Abramowitz, Irene A. Stegun, eds. (1972): Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Dover Chapter 12
(EN) Shanjie Zhang, Jianming Jin (1996): Computation of Special functions, J.Wiley (Chapter 11)
(EN) A. P. Prudnikov, O. I. Marichev, Yu. A. Brychkov (1990): The Struve Functions H_ν(x) and L_ν(x), §1.4 in Integrals and Series, Vol. 3: More Special Functions, Gordon and Breach, pp. 24-27.