Funzioni di Bickley-Naylor

Le funzioni di Bickley-Naylor K i n ( x ) {\displaystyle \mathrm {Ki} _{n}(x)} , dove n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } e x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } sono definite come:

K i n ( x ) = ∫ 0 ∞ e − x cosh ⁡ u cosh n ⁡ u d u , {\displaystyle \mathrm {Ki} _{n}(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x\cosh u}}{\cosh ^{n}u}}\,du,}

dove c o s h {\displaystyle cosh} è la funzione coseno iperbolico.

Proprietà

Si ha:

d d x K i n ( x ) = − K i n − 1 ( x ) . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\mathrm {Ki} _{n}(x)=-\mathrm {Ki} _{n-1}(x).}

Per n = 0 {\displaystyle n=0} ,

K i 0 ( x ) = K 0 ( x ) {\displaystyle \mathrm {Ki} _{0}(x)=\mathrm {K} _{0}(x)}

dove K 0 {\displaystyle \mathrm {K} _{0}} è una funzione di Bessel modificata.

Per n = 1 {\displaystyle n=1}

K i 1 ( x ) = ∫ x ∞ K 0 ( t ) d t . {\displaystyle \mathrm {Ki} _{1}(x)=\int _{x}^{\infty }\mathrm {K} _{0}(t)\,dt.}

La funzione K i 1 ( x ) {\displaystyle \mathrm {Ki} _{1}(x)} è anche collegata con l'integrale di Sievert:

∫ 0 π 2 d ϕ e − x / cos ⁡ ϕ = K i 1 ( x ) . {\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}d\phi e^{-x/\cos \phi }=\mathrm {Ki} _{1}(x).}

Più generalmente,

K i n ( x ) = ∫ 0 π 2 d ϕ cos n − 1 ⁡ ϕ e − x / cos ⁡ ϕ {\displaystyle \mathrm {Ki} _{n}(x)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}d\phi \cos ^{n-1}\phi e^{-x/\cos \phi }} .

Applicazioni

Le funzioni di Bickley-Naylor si incontrano in problemi di diffusione dei neutroni e problemi di convezione.

Bibliografia

  • (EN) W. G. Bickley, Some solutions of the problem of forced convection, in Philosophical Magazine, vol. 20, n. 132, Londraid= DOI: 10.1080/14786443508561482, Taylor & Francis, 1935, pp. 322-343.
  • (EN) W. G. Bickley, John Nayler, A short table of the functions Kin(x), from n=1 to n=16, in Philosophical Magazine, vol. 20, n. 132, Londra, Taylor & Francis, 1935, pp. 343-347, DOI: 10.1080/14786443508561483.
  • (EN) J. M. Blair, C. A. Edwards; J. H. Johnson, Rational Chebyshev Approximations for the Bickley Functions Kin(X), in Mathematics of Computation, vol. 32, n. 143, American Mathematical Society, luglio 1978, pp. 876-886, JSTOR 2006492.

Collegamenti esterni

  • BICKLEY-NAYLOR FUNCTIONS Kin(x) AND THEIR PROPERTIES (PDF), su www2.ogu.edu.tr. URL consultato il 21 gennaio 2012 (archiviato dall'url originale il 16 febbraio 2010).
  • (EN) Digital Library of Mathematical Functions, Fractional Integrals, su dlmf.nist.gov. URL consultato l'11 novembre 2012.