Funzione logaritmicamente concava
In analisi convessa, una funzione non negativa è logaritmicamente concava se il suo dominio è un insieme convesso e se soddisfa la disuguaglianza
per ogni e . Se è strettamente positiva, ciò è equivalente a dire che il logaritmo della funzione, ossia , è una funzione concava; quindi,
per ogni e .
Esempi di funzioni logaritmicamente concave sono le funzioni indicatrici 0-1 di insiemi convessi (che richiedono la definizione più flessibile) e la funzione gaussiana.
Analogamente, una funzione è logaritmicamente convessa se soddisfa la disuguaglianza opposta
per ogni e .
Proprietà
- Una funzione logaritmicamente concava positiva è anche una funzione quasi-concava.
- Ogni funzione concava che è non negativa sul suo dominio è logaritmicamente concava. Tuttavia, non vale necessariamente il viceversa. Un esempio è la funzione gaussiana che è logaritmicamente concava poiché è una funzione concava di . Ma non è concava poiché la sua derivata seconda è positiva per :
- Una funzione non negativa, due volte differenziabile, con un dominio convesso è logaritmicamente concava se e solo se per ogni tale che ,
- ,[1]
- ossia
- è
- semi-definita negativa. Per funzioni di una variabile, questa condizione si riduce a
Operazioni che conservano la concavità logaritmica
- Prodotto: Il prodotto di funzioni logaritmicamente concave è anch'esso una funzione logaritmicamente concava. Infatti, se e sono funzioni logaritmicamente concave, allora e sono concave per definizione. Perciò
- è concava e quindi anche è logaritmicamente concava.
- Marginalizzazione: Se è logaritmicamente concava, allora
- è logaritmicamente concava (vedere disuguaglianza di Prékopa-Leindler).
- Ciò implica che la convoluzione conserva la concavità logaritmica, poiché è logaritmicamente concava se e sono logaritmicamente concave, e perciò
- è logaritmicamente concava.
Distribuzioni logaritmicamente concave
Le distribuzioni logaritmicamente concave sono necessarie per un certo numero di algoritmi, ad esempio adaptive rejection sampling.
Come è noto, molte distribuzioni di probabilità comuni sono logaritmicamente concave. Alcuni esempi:[2]
- la distribuzione normale e le distribuzioni normali multivariate;
- la distribuzione esponenziale;
- la distribuzione uniforme su ogni insieme convesso;
- la distribuzione logistica;
- la distribuzione dei valori estremi;
- la distribuzione di Laplace;
- la distribuzione chi;
- la distribuzione chi quadrato se il numero di gradi di libertà è >= 2;
- la distribuzione di Wishart, in cui n >= p + 1;[3]
- la distribuzione di Dirichlet, in cui tutti i parametri siano >= 1;[3]
- la distribuzione Gamma se il parametro di forma è >= 1;
- la distribuzione beta se entrambi i parametri di forma sono >= 1;
- la distribuzione di Weibull se il parametro di forma è >= 1.
Notiamo che tutte le restrizioni sui parametri hanno la stessa motivazione di base: l'esponente di una quantità non negativa deve essere non negativo in modo che la funzione sia logaritmicamente concava.
Le seguenti distribuzioni sono non logaritmicamente concave per ogni scelta dei parametri:
- la distribuzione t di Student;
- la distribuzione di Cauchy;
- la distribuzione di Pareto;
- la distribuzione lognormale;
- la distribuzione F.
Notare che la funzione cumulativa di tutte le distribuzioni logaritmicamente concave è anch'essa logaritmicamente concava. Tuttavia, alcune distribuzioni non logaritmicamente concave pure hanno funzioni cumulative logaritmicamente concave:
- la distribuzione lognormale;
- la distribuzione di Pareto;
- la distribuzione di Weibull quando il parametro di forma è < 1;
- la distribuzione Gamma quando il parametro di forma è < 1.
Le seguenti sono alcune tra le proprietà delle distribuzioni logaritmicamente concave:
- se la densità è logaritmicamente concava, tale è la sua funzione cumulativa;
- se una densità multivariata è logaritmicamente concava, tale è la densità marginale su ogni sottoinsieme di variabili.
- la somma di due variabili casuali logaritmicamente concave indipendenti è logaritmicamente concava; ciò segue dal fatto che la convoluzione di due funzioni logaritmicamente concave è logaritmicamente concava;
- il prodotto di due funzioni logaritmicamente concave è logaritmicamente concavo; ciò significa che le densità congiunte ottenute moltiplicando due densità di probabilità (ad esempio la normal-gamma distribution, che ha sempre un parametro di forma >= 1) saranno logaritmicamente concave. Questa proprietà è molto usata nei programmi per i general-purpose basati sul campionamento di Gibbs, quali BUGS e JAGS, che, in tal modo, sono in grado di utilizzare adaptive rejection sampling su una grande varietà di distribuzioni condizionate derivanti dal prodotto di altre distribuzioni.
Note
- ^ Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe, Convex Optimization (PDF) p.105
- ^ See Mark Bagnoli and Ted Bergstrom (1989), "Log-Concave Probability and Its Applications", University of Michigan.[1]
- ^ a b András Prékopa (1971), "Logarithmic concave measures with application to stochastic programming". Acta Scientiarum Mathematicarum, 32, pp. 301–316.
Bibliografia
- Ole Barndorff-Nielsen, Information and exponential families in statistical theory, Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics, Chichester, John Wiley \& Sons, Ltd., 1978, pp. ix+238 pp., ISBN 0-471-99545-2, MR 489333.
- Sudhakar Dharmadhikari e Kumar Joag-Dev, Unimodality, convexity, and applications, Probability and Mathematical Statistics, Boston, MA, Academic Press, Inc., 1988, pp. xiv+278, ISBN 0-12-214690-5, MR 954608.
- Johann Pfanzagl e with the assistance of R. Hamböker, Parametric Statistical Theory, Walter de Gruyter, 1994, ISBN 3-11-013863-8, MR 1291393.
- Josip E. Pečarić, Frank Proschan e Y. L. Tong, Convex functions, partial orderings, and statistical applications, Mathematics in Science and Engineering, vol. 187, Boston, MA, Academic Press, Inc., 1992, pp. xiv+467 pp., ISBN 0-12-549250-2, MR 1162312.
Voci correlate
- Ennupla logaritmicamente concava
- Misura logaritmicamente concava
- Funzione concava
- Logaritmo
- Funzione convessa
- Funzione logaritmicamente convessa
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