Frontiera (topologia)

In topologia, la frontiera o contorno o bordo di un sottoinsieme S di uno spazio topologico X è la chiusura dell'insieme meno il suo interno. Un elemento della frontiera di S è chiamato punto di frontiera di S. Le notazioni usate per indicare la frontiera di un insieme S includono b(S)[1] , bd(S), fr(S), e ∂ S {\displaystyle \partial S} .

Esistono altri due modi equivalenti per definire la frontiera di S e i punti di frontiera di S.

  1. Si definisce frontiera di S l'intersezione fra la chiusura di S e la chiusura del suo complementare.
  2. Si definisce frontiera di S l'insieme dei punti p in X tali che ogni intorno di p contiene almeno un punto di S e almeno un punto non appartenente a S.

Proprietà

  • La frontiera di un insieme è chiusa.
  • La frontiera di un insieme è uguale all'intersezione fra la chiusura dell'insieme e la chiusura del suo complemento.
  • Un insieme è chiuso se e solo se la frontiera dell'insieme è contenuta nell'insieme, e aperto se e solo se è disgiunto dalla sua frontiera.
  • La frontiera di un insieme è uguale alla frontiera del suo complemento.
  • La chiusura di un insieme è uguale all'unione dell'insieme con la sua frontiera.
  • La frontiera di un insieme è vuota se e solo se l'insieme è contemporaneamente chiuso e aperto (cioè se è un insieme chiuso-aperto).

Esempi

  • Consideriamo l'usuale topologia dell'asse reale; se X = [ 0 , 5 ) {\displaystyle X=[0,5)} , allora ∂ X = { 0 , 5 } {\displaystyle \partial X=\{0,5\}} .
  • ∂ B ¯ ( a , r ) = B ¯ ( a , r ) − B ( a , r ) {\displaystyle \partial {\overline {B}}(\mathbf {a} ,r)={\overline {B}}(\mathbf {a} ,r)-B(\mathbf {a} ,r)}
  • ∂ D n ≃ S n − 1 {\displaystyle \partial D^{n}\simeq S^{n-1}}
  • ∂ ∅ = ∅ {\displaystyle \partial \varnothing =\varnothing }
  • Se Ω denota il disco caratterizzato dalla disuguaglianza x2+y2 ≤ 1, in R3 si ha ∂Ω = Ω, mentre in R2, ∂Ω = {(x, y) | x2+y2 = 1}. Quindi, la frontiera di un insieme può dipendere dall'insieme in cui è immerso.

Note

  1. ^ Pagina di Paolo Acquistapace, su people.dm.unipi.it. URL consultato il 28 novembre 2019.

Bibliografia

  • J. R. Munkres, Topology, Prentice-Hall, 2000, ISBN 0-13-181629-2.
  • S. Willard, General Topology, Addison-Wesley, 1970, ISBN 0-201-08707-3.

Voci correlate

  • Insieme chiuso
  • Insieme aperto

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