Formula di Jacobi

In matematica, la formula di Jacobi, che prende il nome dal matematico C. G. J. Jacobi, esprime la derivata del determinante di una matrice ${\displaystyle A}$ attraverso la matrice dei cofattori (o matrice dei complementi algebrici) di ${\displaystyle A}$ e della derivata di ${\displaystyle A}$ stessa. Il determinante di una matrice può infatti considerarsi una funzione polinomiale:

${\displaystyle \det :\mathbb {R} ^{n\times n}\to \mathbb {R} }$

quindi essa è differenziabile e il suo differenziale può essere espresso mediante la formula di Jacobi:

${\displaystyle d\det(A)=\operatorname {tr} (\operatorname {cof} ^{T}(A)dA)}$

dove ${\displaystyle \operatorname {cof} ^{T}(A)}$ denota la trasposta della matrice dei cofattori (detta anche matrice aggiunta e denotata come ${\displaystyle \operatorname {adj} (A)}$), mentre ${\displaystyle \operatorname {tr} }$ è la traccia.

Dunque la derivata rispetto a ${\displaystyle t}$ del determinante si scrive:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\det A(t)=\mathrm {tr} \left(\mathrm {adj} (A(t))\,{\frac {dA(t)}{dt}}\right)}$

L'espansione di Laplace per il determinante di una matrice ${\displaystyle A}$ può essere scritta come:

${\displaystyle \det(A)=\sum _{j}A_{ij}\mathrm {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ij}}$

dove la somma può essere svolta su qualsiasi colonna ${\displaystyle i}$ della matrice. Il determinante può dunque essere espresso come una funzione ${\displaystyle F}$ degli elementi della matrice:

${\displaystyle \det(A)=F\,(A_{11},A_{12},\ldots ,A_{21},A_{22},\ldots ,A_{nn})}$

in modo che utilizzando la regola della catena si vede che il suo differenziale è:

${\displaystyle d\det(A)=\sum _{i}\sum _{j}{\partial F \over \partial A_{ij}}\,dA_{ij}}$

con la somma che interessa tutti gli ${\displaystyle n\times n}$ elementi della matrice.

Per calcolare ${\displaystyle \partial F/\partial A_{ij}}$ si sfrutta l'arbitrarietà dell'indice ${\displaystyle i}$ nel termine a destra della formula di Laplace, che può essere scelto in modo da coincidere con il primo indice di ${\displaystyle \partial /\partial A_{ij}}$:

${\displaystyle {\partial \det(A) \over \partial A_{ij}}={\partial \sum _{k}A_{ik}\mathrm {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik} \over \partial A_{ij}}=\sum _{k}{\partial (A_{ik}\mathrm {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik}) \over \partial A_{ij}}}$

così che con la regola del prodotto:

${\displaystyle {\partial \det(A) \over \partial A_{ij}}=\sum _{k}{\partial A_{ik} \over \partial A_{ij}}\mathrm {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik}+\sum _{k}A_{ik}{\partial \,\mathrm {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik} \over \partial A_{ij}}}$

Se un elemento di ${\displaystyle A_{ij}}$ e un cofattore ${\displaystyle \mathrm {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik}}$ di un elemento di ${\displaystyle A_{ik}}$ sono nella stessa riga (o colonna), allora il cofattore non è una funzione di ${\displaystyle A_{ij}}$ dato che il cofattore di ${\displaystyle A_{ik}}$ è espresso tramite termini che non sono nella sua stessa riga (o colonna). Dunque la derivata si annulla:

${\displaystyle {\partial \,\mathrm {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik} \over \partial A_{ij}}=0}$

e quindi:

${\displaystyle {\partial \det(A) \over \partial A_{ij}}=\sum _{k}\mathrm {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik}{\partial A_{ik} \over \partial A_{ij}}}$

Tutti gli elementi di ${\displaystyle A}$ sono reciprocamente indipendenti:

${\displaystyle {\partial A_{ik} \over \partial A_{ij}}=\delta _{jk}}$

dove ${\displaystyle \delta _{jk}}$ è il delta di Kronecker. Quindi:

${\displaystyle {\partial \det(A) \over \partial A_{ij}}=\sum _{k}\mathrm {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik}\delta _{jk}=\mathrm {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ij}}$

da cui segue:

${\displaystyle d(\det(A))=\sum _{i}\sum _{j}\mathrm {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ij}\,dA_{ij}}$

Si consideri ora il lemma:

${\displaystyle \sum _{i}\sum _{j}A_{ij}B_{ij}=\mathrm {tr} (A^{\rm {T}}B)}$

che segue da:

${\displaystyle \mathrm {tr} (A^{\rm {T}}B)=\sum _{j}(A^{\rm {T}}B)_{jj}=\sum _{j}\sum _{i}A_{ij}B_{ij}=\sum _{i}\sum _{j}A_{ij}B_{ij}}$

e sfruttando il fatto che:

${\displaystyle \sum _{i}\sum _{j}A_{ij}B_{ij}=\mathrm {tr} (A^{\rm {T}}B)\qquad (AB)_{jk}=\sum _{i}A_{ji}B_{ik}}$

Utilizzando il lemma si giunge infine alla formula di Jacobi:

${\displaystyle d(\det(A))=\mathrm {tr} (\mathrm {adj} (A)\,dA)}$

• (EN) Magnus, Jan R.; Neudecker, Heinz (1999), Matrix Differential Calculus with Applications in Statistics and Econometrics, Wiley, ISBN 0-471-98633-X
• (EN) Bellmann, Richard (1987), Introduction to Matrix Analysis, SIAM, ISBN 0898713994

• Determinante
• Matrice dei cofattori
• Traccia (matrice)

• (EN) W. Kahan - Jacobi's Formula for the Derivative of a Determinant (PDF), su cs.berkeley.edu.

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