In matematica, la formula di Jacobi, che prende il nome dal matematico C. G. J. Jacobi, esprime la derivata del determinante di una matrice
attraverso la matrice dei cofattori (o matrice dei complementi algebrici) di
e della derivata di
stessa. Il determinante di una matrice può infatti considerarsi una funzione polinomiale:
![{\displaystyle \det :\mathbb {R} ^{n\times n}\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de9eb3fa8485709fe0f5c9fc9486ccc9f721e760)
quindi essa è differenziabile e il suo differenziale può essere espresso mediante la formula di Jacobi:
![{\displaystyle d\det(A)=\operatorname {tr} (\operatorname {cof} ^{T}(A)dA)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3c974aa27be1e42350e2cce8c7d95e926f84778)
dove
denota la trasposta della matrice dei cofattori (detta anche matrice aggiunta e denotata come
), mentre
è la traccia.
Dunque la derivata rispetto a
del determinante si scrive:
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\det A(t)=\mathrm {tr} \left(\mathrm {adj} (A(t))\,{\frac {dA(t)}{dt}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43efabf3f898fa2513d822518b4d510a6ed97f31)
Dimostrazione
L'espansione di Laplace per il determinante di una matrice
può essere scritta come:
![{\displaystyle \det(A)=\sum _{j}A_{ij}\mathrm {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62912f56984656ddc115b3a669c7c3205f9326e9)
dove la somma può essere svolta su qualsiasi colonna
della matrice. Il determinante può dunque essere espresso come una funzione
degli elementi della matrice:
![{\displaystyle \det(A)=F\,(A_{11},A_{12},\ldots ,A_{21},A_{22},\ldots ,A_{nn})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46268567e31a03beb4411596215894cff692eaaa)
in modo che utilizzando la regola della catena si vede che il suo differenziale è:
![{\displaystyle d\det(A)=\sum _{i}\sum _{j}{\partial F \over \partial A_{ij}}\,dA_{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51c7cf271b465be24fff93d7327f1b153254b105)
con la somma che interessa tutti gli
elementi della matrice.
Per calcolare
si sfrutta l'arbitrarietà dell'indice
nel termine a destra della formula di Laplace, che può essere scelto in modo da coincidere con il primo indice di
:
![{\displaystyle {\partial \det(A) \over \partial A_{ij}}={\partial \sum _{k}A_{ik}\mathrm {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik} \over \partial A_{ij}}=\sum _{k}{\partial (A_{ik}\mathrm {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik}) \over \partial A_{ij}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05a69c1f78bc75493a1b9a781972bf103c52a372)
così che con la regola del prodotto:
![{\displaystyle {\partial \det(A) \over \partial A_{ij}}=\sum _{k}{\partial A_{ik} \over \partial A_{ij}}\mathrm {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik}+\sum _{k}A_{ik}{\partial \,\mathrm {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik} \over \partial A_{ij}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cb6bf97de31beed97972b841bbcf9ead0fef52a)
Se un elemento di
e un cofattore
di un elemento di
sono nella stessa riga (o colonna), allora il cofattore non è una funzione di
dato che il cofattore di
è espresso tramite termini che non sono nella sua stessa riga (o colonna). Dunque la derivata si annulla:
![{\displaystyle {\partial \,\mathrm {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik} \over \partial A_{ij}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/decfec50d85b6b4c202e2f8221434ba8f0cffb1c)
e quindi:
![{\displaystyle {\partial \det(A) \over \partial A_{ij}}=\sum _{k}\mathrm {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik}{\partial A_{ik} \over \partial A_{ij}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe0e8aef92a90008c221f60ffc03e1096e82c27c)
Tutti gli elementi di
sono reciprocamente indipendenti:
![{\displaystyle {\partial A_{ik} \over \partial A_{ij}}=\delta _{jk}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c5cf74fd59244868ff7a3286a46816af7ccf2b3)
dove
è il delta di Kronecker. Quindi:
![{\displaystyle {\partial \det(A) \over \partial A_{ij}}=\sum _{k}\mathrm {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik}\delta _{jk}=\mathrm {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/470394397e83211e31d6ec65968aa457e5edd02f)
da cui segue:
![{\displaystyle d(\det(A))=\sum _{i}\sum _{j}\mathrm {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ij}\,dA_{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/332a7c14a6b481e3ff8412586a8cfed59a772e52)
Si consideri ora il lemma:
![{\displaystyle \sum _{i}\sum _{j}A_{ij}B_{ij}=\mathrm {tr} (A^{\rm {T}}B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0a7c375f3622e8629642e36ea9a6c5910f79ae4)
che segue da:
![{\displaystyle \mathrm {tr} (A^{\rm {T}}B)=\sum _{j}(A^{\rm {T}}B)_{jj}=\sum _{j}\sum _{i}A_{ij}B_{ij}=\sum _{i}\sum _{j}A_{ij}B_{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc3f35284224822757d80cc88d4f0e80886cf0b8)
e sfruttando il fatto che:
![{\displaystyle \sum _{i}\sum _{j}A_{ij}B_{ij}=\mathrm {tr} (A^{\rm {T}}B)\qquad (AB)_{jk}=\sum _{i}A_{ji}B_{ik}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3905e79f2eb6c99d15cc8c99be22bf9264d1afe)
Utilizzando il lemma si giunge infine alla formula di Jacobi:
![{\displaystyle d(\det(A))=\mathrm {tr} (\mathrm {adj} (A)\,dA)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d4b2f8535191db76dfbee3e245aac07ccfd50e3)
Bibliografia
- (EN) Magnus, Jan R.; Neudecker, Heinz (1999), Matrix Differential Calculus with Applications in Statistics and Econometrics, Wiley, ISBN 0-471-98633-X
- (EN) Bellmann, Richard (1987), Introduction to Matrix Analysis, SIAM, ISBN 0898713994
Voci correlate
- Determinante
- Matrice dei cofattori
- Traccia (matrice)
Collegamenti esterni
- (EN) W. Kahan - Jacobi's Formula for the Derivative of a Determinant (PDF), su cs.berkeley.edu.
Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica