Disambiguazione – "Forma bilineare simmetrica" rimanda qui. Se stai cercando altri significati, vedi Prodotto scalare. In matematica, più precisamente in algebra lineare, una forma bilineare è una mappa bilineare a valori in un campo. Si tratta di una funzione definita sul prodotto cartesiano di due spazi vettoriali che è lineare in entrambe le componenti.
Definizione
Siano
e
spazi vettoriali su
e
il loro prodotto cartesiano. Una forma bilineare sul campo
è una mappa
![{\displaystyle \phi :V\times W\to K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4f86a4fe125ffdd94166906a0330072065bbcce)
che associa ad ogni coppia di elementi
e
lo scalare
ed è lineare su entrambe le componenti, cioè:[1]
![{\displaystyle \phi (\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2},\mathbf {w} )=\phi (\mathbf {v} _{1},\mathbf {w} )+\phi (\mathbf {v} _{2},\mathbf {w} )\qquad \forall \ \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\in V\quad \forall \ \mathbf {w} \in W}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eae8dfd674d7d3641f9806d2c1a5e0f40dd42bd)
![{\displaystyle \phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} _{1}+\mathbf {w} _{2})=\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} _{1})+\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} _{2})\qquad \forall \ \mathbf {w} _{1},\mathbf {w} _{2}\in W\quad \forall \ \mathbf {v} \in V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2ae895355b2c24648a5beb71ba0cbd635cc7b17)
![{\displaystyle \phi (a\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=\phi (\mathbf {v} ,a\mathbf {w} )=a\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\qquad \forall \ \mathbf {v} \in V\quad \forall \ \mathbf {w} \in W\quad \forall \ a\in K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00d3dd09520e0ed365eab5d4db52c2649b9c4281)
Fissato uno dei due argomenti, la funzione è lineare rispetto all'altro.
Se
e
coincidono, la forma si dice bilineare su
(o su
).[2]
Rappresentazione in coordinate
Se
ha dimensione n finita, ogni forma bilineare
su
può essere rappresentata come una matrice quadrata con n righe. Come per le applicazioni lineari, per fare ciò è necessario scegliere una base
per
, in quanto la matrice risultante dipende dalla base scelta.
La matrice
è definita per componenti da:
![{\displaystyle b_{ij}=\phi (\mathbf {v} _{i},\mathbf {v} _{j})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10f51df896a0e0b0b6b1c0826ae2db5c36f46ff7)
L'azione della forma bilineare su due vettori
e
di
si ricava nel modo seguente, tramite moltiplicazione tra matrici:
![{\displaystyle \phi (\mathbf {u} ,\mathbf {w} )=\mathbf {\mathbf {u} } ^{T}\mathbf {B\mathbf {w} } =\sum _{i,j=1}^{n}b_{ij}u_{i}w_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/425917cc2175b0c1d8637e26b8e5d0bf4dbc28d7)
dove
e
sono le coordinate di
e
rispetto alla base.
Relazione con lo spazio duale
Ogni forma bilineare
su
definisce una coppia di mappe lineari da
nel suo spazio duale
. Si definiscano nel modo seguente:
![{\displaystyle \phi _{1}:V\to V^{*}\qquad \phi _{1}(\mathbf {v} )(\mathbf {w} )=\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d801767b09fc51962dd587a7e403855e28edb19f)
![{\displaystyle \phi _{2}:V\to V^{*}\qquad \phi _{2}(\mathbf {v} )(\mathbf {w} )=\phi (\mathbf {w} ,\mathbf {v} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18de1c7e3f2e5e9db21ef8096ea46f5abb381941)
In altre parole,
è l'elemento di
che manda
in
.
Per denotare la posizione dell'argomento nella mappa lineare risultante, si usa la notazione:
![{\displaystyle \phi _{1}(\mathbf {v} )=\phi (\mathbf {v} ,\cdot )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6959abcf0f4c41f7401052c600f270892f5253eb)
![{\displaystyle \phi _{2}(\mathbf {v} )=\phi (\cdot ,\mathbf {v} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf4a44c26b002bdce3add6a4c23e588b70995997)
Ogni mappa lineare
definisce analogamente una funzione bilineare:
![{\displaystyle \phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=T(\mathbf {v} )(\mathbf {w} )\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d23b20557f63c70cd9b36add44bb0e32e05be80e)
Una forma bilineare
è detta simmetrica se:[3]
![{\displaystyle \phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=\phi (\mathbf {w} ,\mathbf {v} )\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fe76802fde0d26afc3f651c004f4e25c1db8202)
per ogni
e
in
. È invece detta antisimmetrica o alternante se:
.
Una forma bilineare
è simmetrica se e solo se la matrice associata
(rispetto ad una base qualsiasi) è simmetrica, ed è antisimmetrica se e solo se la matrice associata è antisimmetrica.
Se la forma bilineare è simmetrica, le due mappe
e
definite sopra coincidono.
Se
non ha caratteristica 2, allora una caratterizzazione equivalente di una forma antisimmetrica è:
![{\displaystyle \phi (\mathbf {v} ,\mathbf {v} )=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af166d00eb9c986c29aebc84b4d9b37ce67b469e)
per ogni
. In caso contrario, la condizione precedente è solo sufficiente.
Prodotto scalare
Una forma bilineare simmetrica è spesso chiamata prodotto scalare.[3] Altri autori definiscono invece il prodotto scalare come una forma bilineare simmetrica a valori nel campo
dei numeri reali che sia definita positiva, ovvero con
per ogni
diverso da zero, e
.
Una forma bilineare
definita su uno spazio
di dimensione finita è degenere se la matrice
che la rappresenta rispetto ad una base ha determinante nullo. Altrimenti, è detta non degenere. La definizione non dipende dalla base scelta per rappresentare la forma come matrice.
I fatti seguenti sono equivalenti:
- La forma bilineare
è degenere. - Esiste un vettore
non nullo tale che
per ogni
. - Esiste un vettore
non nullo tale che
per ogni
.
Esempi
- Il prodotto scalare canonico fra vettori del piano o dello spazio euclideo è una forma bilineare simmetrica.
- Sia
lo spazio vettoriale delle funzioni continue sull'intervallo
, a valori reali. Un esempio di forma bilineare simmetrica definita su
è data da:
![{\displaystyle \phi (f,g)=\int _{0}^{1}f(x)g(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ccdd293f1e5f5c6cbc229f5a2b2aebe9f7fca5d)
Note
Bibliografia
- Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
Voci correlate
Altri progetti
Altri progetti
- Wikiversità
- Wikimedia Commons
Wikiversità contiene risorse sulla forma bilineare
Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla forma bilineare
Collegamenti esterni
Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica