Equazioni di Yule-Walker

In statistica per un modello autoregressivo (casuale) valgono le seguenti relazioni, dette equazioni di Yule-Walker:

$R_{yy}=-{\sum _{k=1}^{N}a_{k}R_{yy}(n-k)+R_{yx}(n)}$

$R_{yx}(n)=\left\{{\begin{matrix}0\,\,\,per\,\,\,n>0\\{\sigma _{n}^{2}}\,\,\,per\,\,\,n=0\,\end{matrix}}\right.$

In particolare, la matrice $R$ dei coefficienti delle equazioni di Yule-Walker è una matrice di Toeplitz; cioè è simmetrica (o hermitiana, nel caso di sequenze complesse) e tutti gli elementi appartenenti alla stessa diagonale, o subdiagonale, sono eguali tra loro. La matrice $R[N\times N]$ è pertanto caratterizzata da $N$ numeri e può dunque essere rappresentata da:

$R={\begin{bmatrix}r_{0}&r_{-1}&..&r_{-N}\\r_{1}&r_{0}&..&r_{-N+1}\\r_{2}&r_{1}&..&r_{-N+2}\\..&..&..&..\\r_{N}&r_{N-1}&..&r_{0}\\\end{bmatrix}}$

Nota: Per ricavare l'elemento m-esimo $r_{m}$ si veda la procedura di derivazione sotto esposta.

Derivazione

Considerando un processo AR:

z_{t}=\sum _{i=1}^{p}{\phi _{i}}\,z_{t-i}+\alpha _{t}.

Moltiplicando entrambi i membri per $z_{t-m}$ e, usando l'operatore del valore atteso, si ha:

E[z_{t}z_{t-m}]=E\left[\sum _{i=1}^{p}{\phi _{i}}\,z_{t-i}z_{t-m}\right]+E[\alpha _{t}z_{t-m}].

Si ha che la funzione di autocovarianza è: $E[z_{t}z_{t-m}]=r_{m}$ . I valori della funzione del rumore bianco risultano indipendenti tra loro, e $z_{t-m}$ risulta indipendente da ${\alpha _{t}}$ per m > 0. Se $m\neq 0\Rightarrow$ $E[\alpha _{t}z_{t-m}]=0$ . Per $m=0$ si ha:

E[\alpha _{t}z_{t}]=E\left[\alpha _{t}(\sum _{i=1}^{p}{\phi _{i}}\,z_{t-i}+\alpha _{t})\right]=\sum _{i=1}^{p}{\phi _{i}}\,E[\alpha _{t}\,z_{t-i}]+E[\alpha _{t}^{2}]=0+\sigma _{\alpha }^{2},

Pertanto, risulta:

r_{m}=E\left[\sum _{i=1}^{p}{\phi _{i}}\,z_{t-i}z_{t-m}\right]+\sigma _{\alpha }^{2}\delta _{m}.

Poiché:

E\left[\sum _{i=1}^{p}{\phi _{i}}\,z_{t-i}z_{t-m}\right]=\sum _{i=1}^{p}{\phi _{i}}\,E[z_{t}z_{t-m+i}]

\sum _{i=1}^{p}{\phi _{i}}\,r_{m-i},

La risultante equazione di Yule-Walker è:

r_{m}=\sum _{i=1}^{p}{\phi _{i}}r_{m-i}+\sigma _{\alpha }^{2}\delta _{m}.

Bibliografia

G. U. Yule, On a method of investigating periodicities in disturbed series, with special reference to wolfer's sunspot numbers, Phil. Trans. Roy. Soc., 226-A:267–298, 1927.
Rob J Hyndman, Yule-Walker Type Estimates for Continuous Time Autoregressive Models, Dept. of Statistics, University of Melbourne, 1991.
Helmut Lütkepohl, Introduction to Multiple Time Series Analysis, ISBN 3540569405, Springer, 1993.
Jack HW Penm, Tim Brailsford, Richard Deane Terrell, The Adjustment of the Yule-Walker Relations in VAR Modeling: The Impact of the Euro on the Hong Kong, Canberra, A.C.T.: School of Finance and Applied Statistics, Australian National University, 2000.