In statistica per un modello autoregressivo (casuale) valgono le seguenti relazioni, dette equazioni di Yule-Walker:
![{\displaystyle R_{yy}=-{\sum _{k=1}^{N}a_{k}R_{yy}(n-k)+R_{yx}(n)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29dfcfd5254a0c5ad00f4ece4fdf29e1e2179e32)
![{\displaystyle R_{yx}(n)=\left\{{\begin{matrix}0\,\,\,per\,\,\,n>0\\{\sigma _{n}^{2}}\,\,\,per\,\,\,n=0\,\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6e4a4b22e3049baa89b48c0e0c143770c54b592)
In particolare, la matrice
dei coefficienti delle equazioni di Yule-Walker è una matrice di Toeplitz; cioè è simmetrica (o hermitiana, nel caso di sequenze complesse) e tutti gli elementi appartenenti alla stessa diagonale, o subdiagonale, sono eguali tra loro. La matrice
è pertanto caratterizzata da
numeri e può dunque essere rappresentata da:
Nota: Per ricavare l'elemento m-esimo
si veda la procedura di derivazione sotto esposta.
Derivazione
Considerando un processo AR:
![{\displaystyle z_{t}=\sum _{i=1}^{p}{\phi _{i}}\,z_{t-i}+\alpha _{t}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef9ea76e784e58518b3d7b63d8faede2f51934e2)
Moltiplicando entrambi i membri per
e, usando l'operatore del valore atteso, si ha:
![{\displaystyle E[z_{t}z_{t-m}]=E\left[\sum _{i=1}^{p}{\phi _{i}}\,z_{t-i}z_{t-m}\right]+E[\alpha _{t}z_{t-m}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caf84c9d16b4ee5c306f9b8fcf49f7ab1eadafd7)
Si ha che la funzione di autocovarianza è:
. I valori della funzione del rumore bianco risultano indipendenti tra loro, e
risulta indipendente da
per m > 0. Se
. Per
si ha:
![{\displaystyle E[\alpha _{t}z_{t}]=E\left[\alpha _{t}(\sum _{i=1}^{p}{\phi _{i}}\,z_{t-i}+\alpha _{t})\right]=\sum _{i=1}^{p}{\phi _{i}}\,E[\alpha _{t}\,z_{t-i}]+E[\alpha _{t}^{2}]=0+\sigma _{\alpha }^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0145fa90bf41661231abb2503962c39799afddb)
Pertanto, risulta:
![{\displaystyle r_{m}=E\left[\sum _{i=1}^{p}{\phi _{i}}\,z_{t-i}z_{t-m}\right]+\sigma _{\alpha }^{2}\delta _{m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c76ad58b4af7cefa6c7912b50e1460c02e5ae033)
Poiché:
= ![{\displaystyle \sum _{i=1}^{p}{\phi _{i}}\,r_{m-i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdf513a237bb652f7f134c2770eaa50b0d12c65d)
La risultante equazione di Yule-Walker è:
![{\displaystyle r_{m}=\sum _{i=1}^{p}{\phi _{i}}r_{m-i}+\sigma _{\alpha }^{2}\delta _{m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8414c7be258c4a6ea52ecc7c48d8f08a921216d)
Bibliografia
- G. U. Yule, On a method of investigating periodicities in disturbed series, with special reference to wolfer's sunspot numbers, Phil. Trans. Roy. Soc., 226-A:267–298, 1927.
- Rob J Hyndman, Yule-Walker Type Estimates for Continuous Time Autoregressive Models, Dept. of Statistics, University of Melbourne, 1991.
- Helmut Lütkepohl, Introduction to Multiple Time Series Analysis, ISBN 3540569405, Springer, 1993.
- Jack HW Penm, Tim Brailsford, Richard Deane Terrell, The Adjustment of the Yule-Walker Relations in VAR Modeling: The Impact of the Euro on the Hong Kong, Canberra, A.C.T.: School of Finance and Applied Statistics, Australian National University, 2000.
Voci correlate
- George Udny Yule
- Schema di Yule
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