In matematica, l'equazione biarmonica è un'equazione differenziale alle derivate parziali del quarto ordine utilizzata frequentemente nella meccanica del continuo. Una soluzione dell'equazione biarmonica è detta funzione biarmonica; ogni funzione biarmonica è una funzione armonica, ma non vale il viceversa.
L'equazione
L'equazione biarmonica ha la forma:
![{\displaystyle \nabla ^{4}\varphi =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7837980077399ce1fd834bb93cdf4384cda7180f)
oppure:
![{\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}\varphi =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b80dedf6b73e47fb27f0d7152b8382a6647723b)
o anche:
![{\displaystyle \Delta ^{2}\varphi =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a035b0b2f7afdd5e43160d86fc987916f4a8bb3)
dove
è la quarta potenza dell'operatore nabla, cioè il quadrato del laplaciano
(indicato anche con
). Un tale operatore differenziale è anche detto operatore bilaplaciano o operatore biarmonico. In una diversa notazione può essere scritto in
dimensioni come:
![{\displaystyle \nabla ^{4}\varphi =\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\partial _{i}\partial _{i}\partial _{j}\partial _{j}\varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49170c8f441258d93b84cac019961d2fd3d36677)
Ad esempio, nel caso tridimensionale e in coordinate cartesiane:
![{\displaystyle {\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{4}}+{\partial ^{4}\varphi \over \partial y^{4}}+{\partial ^{4}\varphi \over \partial z^{4}}+2{\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{2}\partial y^{2}}+2{\partial ^{4}\varphi \over \partial y^{2}\partial z^{2}}+2{\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{2}\partial z^{2}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e87bf3fa5acd1695cb7fb0fe0aaae501982634)
Un altro esempio in
dimensioni si trova considerando:
![{\displaystyle \nabla ^{4}\left({1 \over r}\right)={3(15-8n+n^{2}) \over r^{5}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba0407cca4200acba1a2ff17779a8e9992235395)
dove:
![{\displaystyle r={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf205a72b41008edc5759179129ba9b59fb770d8)
Per i soli valori
e
diventa l'equazione biarmonica.
Equazione in due dimensioni
In coordinate polari bidimensionali l'equazione biarmonica assume la forma:
![{\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial \varphi }{\partial r}}\right)\right)\right)+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{4}\varphi }{\partial \theta ^{2}\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{4}\varphi }{\partial \theta ^{4}}}-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {\partial ^{3}\varphi }{\partial \theta ^{2}\partial r}}+{\frac {4}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \theta ^{2}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78ef5bd5e658213d4a274117be78d4bd20b21395)
e può essere risolta tramite separazione delle variabili, ottenendo la soluzione di Michell.
La soluzione generale in due dimensioni è:
![{\displaystyle xv(x,y)-yu(x,y)+w(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/373ff2d6c303bff279cbe55a668897eb6cd8c2d7)
dove
,
e
sono funzioni armoniche e
è il coniugato armonico di
.
La forma generale per una funzione biarmonica in due variabili si può scrivere anche come:
![{\displaystyle \operatorname {Im} ({\bar {z}}f(z)+g(z))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30d2fa1b9989ab0280eaca374da5d03ebe78116e)
dove
e
sono funzioni analitiche.
Bibliografia
- (EN) Eric W Weisstein, CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, CRC Press, 2002. ISBN 1-58488-347-2.
- (EN) S I Hayek, Advanced Mathematical Methods in Science and Engineering, Marcel Dekker, 2000. ISBN 0-8247-0466-5.
- (EN) J P Den Hartog, Advanced Strength of Materials, Courier Dover Publications, Jul 1, 1987, ISBN 0-486-65407-9.
Voci correlate
- Equazione di Laplace
- Funzione armonica
- Operatore di Laplace
- Teoria del potenziale
Collegamenti esterni
- (EN) Eric W. Weisstein, Equazione biarmonica, su MathWorld, Wolfram Research.
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