Disambiguazione – Se stai cercando la divergenza nel campo delle serie infinite, vedi Serie divergente.
Disambiguazione – Se stai cercando l'accezione psicologica, vedi Pensiero divergente.
Nel calcolo differenziale vettoriale, la divergenza è un campo scalare che misura la tendenza di un campo vettoriale a divergere o a convergere verso un punto dello spazio.
Il valore della divergenza di un vettore in una certa posizione è dato da un operatore differenziale, denotato con o , che fornisce una quantità scalare (o . In coordinate cartesiane tale quantità è la somma delle derivate parziali delle componenti di lungo le direzioni degli assi.
Per esempio, se si considera un campo vettoriale in due dimensioni che rappresenta la velocità dell'acqua contenuta in una vasca (sezionata verticalmente) che si sta svuotando, la divergenza ha un valore negativo nella prossimità dello scarico (assumendo quest'ultimo al centro della vasca). Lontano dallo scarico assume invece un valore prossimo allo zero, dato che la velocità dell'acqua è quasi costante. Se si suppone l'acqua incomprimibile, in una regione in cui non ci sono né pozzi in cui essa viene scaricata, né sorgenti da cui viene introdotta, la divergenza è ovunque nulla. Un campo vettoriale con divergenza nulla ovunque viene detto indivergente. Se il dominio è semplicemente connesso e valgono le altre ipotesi del teorema della divergenza, il campo è anche solenoidale. Un esempio di campo vettoriale solenoidale è costituito dal campo magnetico, come stabilito dalle equazioni di Maxwell. Infatti, per il campo magnetico non esistono sorgenti statiche (monopoli magnetici).
Indice
1Definizione
1.1Generalizzazioni
2Teorema di scomposizione
3Proprietà
4Esempi
4.1Coordinate polari piane
4.2Coordinate sferiche
4.3Divergenza del rotore
5Note
6Bibliografia
7Voci correlate
8Altri progetti
9Collegamenti esterni
Definizione
La divergenza è una quantità scalare che determina la tendenza delle linee di flusso di un campo vettoriale a confluire verso una sorgente o diramarsi (divergere) da essa. Tale comportamento può essere descritto considerando una regione di spazio e osservando il flusso (uscente o entrante) del campo vettoriale attraverso la superficie (chiusa) che delimita tale regione: se il flusso è uscente il campo si comporta come se all'interno della regione ci fosse una "sorgente", mentre se è entrante è come se ci fosse un "pozzo". La definizione di divergenza di un campo è ottenuta considerando il caso in cui la regione di spazio si restringe fino a diventare un punto: si tratta del limite, per il volume della regione che tende a zero, del rapporto tra il flusso del campo attraverso la superficie e il volume stesso.
Formalmente, senza fare riferimento a un particolare sistema di coordinate, la divergenza di un campo vettoriale nel punto è pari al flusso di attraverso la frontiera liscia di una regione spaziale , diviso per il volume di , nel limite in cui la dimensione della regione diminuisce fino a farla coincidere con il punto . Ovvero, si tratta dell'integrale:
dove è il versore normale alla superficie e uscente da essa. La precedente definizione è una formulazione del teorema della divergenza, secondo cui il flusso di attraverso la superficie chiusa coincide con l'integrale della divergenza di svolto nel volume .[1]
Con questa definizione la divergenza viene ad assumere il significato di derivata spaziale di un campo vettoriale, intendendo con questo una sorta di rapporto incrementale su un insieme di definizione che tende a zero. Il valore nullo riesce allora a descrivere la conservatività del campo quando questo rappresenta un campo di velocità. Quando si considera il trasporto di materia, ad esempio, al campo vettoriale si fa corrispondere la velocità delle particelle, e per descrivere la conservazione della materia si sfrutta il teorema della divergenza: esso consente di stabilire che la variazione temporale della densità di materia all'interno di è uguale al flusso della materia che entra o esce attraverso . Questo è descritto in forma locale dall'equazione di continuità.
La notazione ha una funzionalità mnemonica, in quanto il punto rappresenta l'operazione di prodotto scalare tra l'operatore nabla e il campo : applicando formalmente le definizioni dei due operandi e di prodotto scalare il risultato è la definizione di , ma chiaramente si tratta di un abuso di notazione e non di un prodotto scalare ben definito.[2] Restando in coordinate cartesiane, la divergenza di un campo tensoriale del secondo ordine differenziabile con continuità è un campo tensoriale del primo ordine:[3]
Considerando invece un campo vettoriale espresso coordinate cilindriche, la divergenza è:[4]
Infine, in coordinate sferiche, con l'angolo rispetto all'asse e la rotazione intorno all'asse , la divergenza è:[5]
Generalizzazioni
La divergenza è un caso particolare della derivata esterna, quando quest'ultima mappa una 2-forma in una 3-forma in . Si consideri una 2-forma:
che, ad esempio, nel caso di trasporto di materia misura l'aumento di particelle che attraversa la superficie per unità di tempo in un fluido di densità che si muove con velocità locale . La sua derivata esterna è data da:
Si consideri una varietà di dimensione con una forma di volume, ad esempio una varietà riemanniana o lorentziana. Dato un campo vettoriale , esso definisce una forma ottenuta contraendo con . La divergenza di rispetto a è definita da:
dove è la derivata covariante. In modo equivalente, alcuni autori definiscono la divergenza di un tensore misto attraverso la "notazione musicale #", ovvero se è un tensore di tipo , con indice di controvarianza e di covarianza, allora la divergenza di è il tensore di tipo :
Un campo vettoriale sufficientemente regolare è completamente determinato quando sono noti la sua divergenza e il suo rotore in ogni punto del suo dominio. Si può mostrare infatti che ogni flusso stazionario , che sia differenziabile almeno due volte in e che si annulli in modo sufficientemente rapido per , può essere decomposto in una parte irrotazionale e una parte solenoidale.
Si nota che due delle quattro derivate dei versori sono nulle. Infatti, al variare di il versore non cambia di orientazione (né di modulo, essendo un versore) e la sua derivata rispetto a sarà di conseguenza nulla. Allo stesso modo non varierà al variare di . Le restanti due derivate invece si trovano:
e sostituendo:
la divergenza in coordinate polari diventa quindi lo scalare:
dove rappresenta la coordinata radiale, rappresenta la coordinata angolare dall'asse e rappresenta la coordinata angolare dall'asse . Analogamente al caso precedente, è sufficiente proiettare il differenziale sulle nuove coordinate:
Quindi se:
la divergenza in coordinate sferiche diventa lo scalare:
Divergenza del rotore
In la divergenza del rotore di qualsiasi campo vettoriale di classe è sempre uguale a .
Infatti, sia un campo vettoriale di classe :
Poiché la funzione è di classe secondo il teorema di Schwarz le derivate miste sommandosi si annullano (se sono soddisfatte le ipotesi del teorema di Schwarz, infatti, l'ordine di derivazione è indifferente).
Note
^ Eric Weisstein, MathWorld - Divergence Theorem, su mathworld.wolfram.com, 2010.
^Scrivendo le "componenti" di davanti a quelle di non si sta eseguendo un prodotto tra componenti, ma si stanno applicando gli operatori alle componenti di . Tale prodotto formale non soddisfa le proprietà del prodotto scalare, ad esempio la scrittura non ha alcun significato, nonostante il prodotto scalare sia simmetrico.
^Copia archiviata (PDF), su elektro.dtu.dk. URL consultato il 29 maggio 2013 (archiviato dall'url originale il 5 aprile 2012).
^Cylindrical coordinates at Wolfram Mathworld
^Spherical coordinates at Wolfram Mathworld
Bibliografia
(EN) Jess H. Brewer, DIVERGENCE of a Vector Field, su Vector Calculus, 7 aprile 1999. URL consultato il 28 settembre 2007 (archiviato dall'url originale il 23 novembre 2007).
(EN) Theresa M. Korn; Korn, Granino Arthur, Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review, New York, Dover Publications, pp. 157–160, ISBN 0-486-41147-8.
(EN) Kaplan, W. The Divergence of a Vector Field. §3.4 in Advanced Calculus, 4th ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 185–186, 1991.
(EN) Morse, P. M. and Feshbach, H. The Divergence. In Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 34–37, 1953.
(EN) Schey, H. M. Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus, 3rd ed. New York: W. W. Norton, 1997.
(EN) Jess H. Brewer's HyperReference - Divergence of a Vector Field, su musr.phas.ubc.ca. URL consultato il 25 maggio 2013 (archiviato dall'url originale il 23 novembre 2007).