Distanza di Čebyšëv

{\displaystyle D_{Chess}(x,0)=1} — $D_{Chess}(x,0)=1$

In matematica, la distanza di Čebyšëv, conosciuta anche come distanza della scacchiera o distanza di Lagrange, è una distanza su spazi vettoriali tale per cui la distanza tra due vettori è il valore massimo della loro differenza lungo gli assi. Si tratta di una versione finito-dimensionale della metrica uniforme.

Prende il nome dal matematico russo Pafnutij L'vovič Čebyšëv. Negli scacchi la distanza tra le celle in termini di mosse necessarie al re è data dalla distanza di Čebyšëv, da cui il nome.

Definizione

La distanza di Čebyšëv tra due punti $p$ e $q$ in uno spazio vettoriale, come ad esempio uno spazio euclideo, è definita come:

d(p,q)=\max _{i}{\big \{}|p_{i}-q_{i}|{\big \}}

dove $p_{i}$ e $q_{i}$ sono le coordinate standard di $p$ e $q$ rispettivamente. Equivale al limite della metrica nello spazio Lp:

\lim _{k\to \infty }{\bigg (}\sum _{i=1}^{n}\left|p_{i}-q_{i}\right|^{k}{\bigg )}^{1/k}

ed è perciò anche nota come metrica $L_{\infty }$ . Si tratta della metrica indotta dalla norma del sup, ed è un esempio di metrica iniettiva.

In due dimensioni, per esempio nella geometria piana, se due punti $p$ e $q$ hanno coordinate cartesiane $(x_{1},y_{1})$ e $(x_{2},y_{2})$ la loro distanza è:

d=\max \left(\left|x_{2}-x_{1}\right|,\left|y_{2}-y_{1}\right|\right)

Con tale metrica una circonferenza di raggio $r$ , cioè i punti a distanza $r$ dal centro, è un quadrato i cui lati hanno lunghezza $2r$ e sono paralleli agli assi coordinati.

Proprietà

In una dimensione tutte le metriche L_p sono uguali: sono il valore assoluto della differenza. In due dimensioni, la distanza di Chebyshev è equivalente ad una rotazione e una riscalatura della distanza di Manhattan planare. Una tale equivalenza tra le metriche L₁ e L_∞ non si generalizza tuttavia in dimensione maggiore. Una sfera costruita con la distanza di Chebyshev è infatti un cubo, mentre se costruita con la distanza di Manhattan è un'ottaedro.

Algoritmo di calcolo

La funzione in Python chebyshev_distance(), ad esempio, computa la distanza tra due vettori di uguale lunghezza:

def chebyshev_distance(v1, v2):
    #Return the Chebyshev distance between equal-length vectors
    if len(v1) != len(v2):
        raise ValueError("Undefined for vectors of unequal length")
    return max(abs(e1-e2) for e1, e2 in zip(v1, v2))

Bibliografia

(EN) Cyrus. D. Cantrell, Modern Mathematical Methods for Physicists and Engineers, Cambridge University Press, 2000, ISBN 0-521-59827-3.
(EN) James M. Abello, Panos M. Pardalos, and Mauricio G. C. Resende (editors), Handbook of Massive Data Sets, Springer, 2002, ISBN 1-4020-0489-3.
(EN) David M. J. Tax, Robert Duin, and Dick De Ridder, Classification, Parameter Estimation and State Estimation: An Engineering Approach Using MATLAB, John Wiley and Sons, 2004, ISBN 0-470-09013-8.
(EN) André Langevin and Diane Riopel, Logistics Systems, Springer, 2005, ISBN 0-387-24971-0.