Direzione di discesa

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In ottimizzazione, una direzione di discesa è un vettore ${\displaystyle \mathbf {p} \in \mathbb {R} ^{n}}$ che, spostandosi nella direzione da esso indicata, permette di avvicinarsi a un minimo locale ${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}}$ della funzione obiettivo ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$.

Sia ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$. Si dice che un vettore ${\displaystyle \mathbf {p} \in \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle \mathbf {p} \not =0}$ è una direzione di discesa per la funzione ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle \mathbf {x} }$ se esiste ${\displaystyle {\tilde {t}}>0}$ tale che ${\displaystyle f(\mathbf {x} +t\mathbf {p} )<f(\mathbf {x} )}$, ${\displaystyle \forall t\in (0,{\tilde {t}}]}$. In modo analogo si definisce la direzione di salita di ${\displaystyle f}$.

Si supponga di dover calcolare ${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}}$ con un metodo iterativo. Si definisce una direzione di discesa ${\displaystyle \mathbf {p} _{k}\in \mathbb {R} ^{n}}$ alla ${\displaystyle k}$-esima iterazione ogni direzione ${\displaystyle \mathbf {p} _{k}}$ per cui ${\displaystyle \langle \mathbf {p} _{k},\nabla f(\mathbf {x} _{k})\rangle <0}$, dove ${\displaystyle \langle ,\rangle }$ rappresenta prodotto scalare. La motivazione per questo approccio è che piccoli spostamenti lungo ${\displaystyle \mathbf {p} _{k}}$ garantiscono che ${\displaystyle \displaystyle f}$ venga ridotto, in base al Teorema di Taylor.

In base a questa definizione, l'antigradiente (se non nullo) è sempre una direzione di discesa, visto che ${\displaystyle \langle -\nabla f(\mathbf {x} _{k}),\nabla f(\mathbf {x} _{k})\rangle =-\langle \nabla f(\mathbf {x} _{k}),\nabla f(\mathbf {x} _{k})\rangle <0}$.

Esistono diversi metodi per calcolare una direzione di discesa, ognuno con meriti specifici, tra cui la discesa del gradiente o il metodo del gradiente coniugato.

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