Questa voce sull'argomento meccanica quantistica è solo un abbozzo.
Contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia.
In meccanica quantistica, un sistema non può assumere energie arbitrarie, ma è invece vincolato ad occupare dei livelli energetici discreti. A ciascun livello possono corrispondere uno o più stati quantistici. In questo contesto, la densità degli stati è una distribuzione usata in fisica statistica e dello stato solido per indicare quanti stati siano potenzialmente disponibili ad un dato sistema quantistico ad una data energia.
Definizione ed applicazioni
La densità degli stati
è definita come il numero degli stati disponibile a un sistema quantistico in un intervallo di energia di ampiezza
centrato in
diviso per l'ampiezza stessa di tale intervallo,[1]
![{\displaystyle g(\epsilon )={\frac {\#stati\ in\ [\epsilon -\delta \epsilon /2,\epsilon +\delta \epsilon /2]}{\delta \epsilon }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cb3dfea11eb15cbe5c7d9d2fe084bd6a93cb63f)
Tramite la relazione di dispersione
, che lega l'energia di uno stato al suo impulso
, si può scrivere la densità di stati come
![{\displaystyle g(\epsilon )={\frac {g_{s}}{V}}\sum _{\bf {k}}\delta (\epsilon -\epsilon ({\bf {k}})),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0096e7b18b81ac9f00c36099709a0704a0723473)
con
la distribuzione delta di Dirac, e
il fattore di degenerazione legato allo spin. Per esempio, se lo spin è
,
sarà
. In generale infatti:
dove
è appunto il numero di spin.
Nel limite termodinamico in cui in un intervallo di energia di ampiezza
sia contenuto un numero elevato di stati, la somma nell'espressione precedente può essere estesa a un integrale dove la misura dello spazio degli impulsi è
, ottenendo così l'espressione[2]
![{\displaystyle g(\epsilon )=\int {\frac {d^{d}k\,d^{d}x}{(2\pi \hbar )^{d}}}\,\delta (\epsilon -\epsilon ({\bf {k}})).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4a548393e525edb4ab49ba45e7681e8b27a22ec)
Le densità di stati così ottenute possono successivamente essere usate come pesi per calcolare osservabili termodinamiche in maniera agevole tramite la trasformazione
![{\displaystyle \int {\frac {d^{d}k\,d^{d}x}{(2\pi \hbar )^{d}}}\,\to \int d\epsilon \,g(\epsilon ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddabb4607e9abe4fd3ac3b2b6f1cbd2418e2393d)
che rimpiazza un integrale in
variabili con un integrale in una sola variabile. Questo cambio di variabili è vantaggioso qualora la funzione di distribuzione del sistema e le osservabili di interesse siano esprimibili in maniera semplice in termini dell'energia.
Esempio: gas di fermioni liberi
La relazione di dispersione del sistema è semplicemente
, con
la massa delle particelle. Il calcolo della
in tre dimensioni porta a[2]
![{\displaystyle g(\epsilon )={\frac {{\sqrt {2}}Vm^{3/2}}{\hbar ^{3}\pi ^{2}}}\epsilon ^{1/2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74c9216b987f7a69ac8d3a2f91eb5ded48d6c6d0)
Ricordando che i fermioni seguono la statistica di Fermi-Dirac
![{\displaystyle f_{FD}(\epsilon ,T)={\frac {1}{e^{(\epsilon -\mu )/k_{B}T}+1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f08a2b1f9fe62913b610ccc51165504c790eb3f7)
dove
è il potenziale chimico,
la temperatura e
la costante di Boltzmann e che, a
,
è una funzione gradino che vale
per
e
altrimenti, si può calcolare, ad esempio, il numero di particelle nel sistema in funzione dell'energia di Fermi
è dato da
![{\displaystyle N=\int _{0}^{\epsilon _{F}}d\epsilon \,g(\epsilon ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0d3648166cc278dcc60d2525cc71a037b0fe63d)
mentre a temperatura finita diviene
![{\displaystyle N_{T}=\int _{0}^{\infty }d\epsilon \,{g(\epsilon )}{f_{FD}(\epsilon ,T)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78afe629fbb63f81c207aaeeb20edbffeac8f92c)
Note
- ^ IUPAC Gold Book
- ^ a b L. Pitaevskii e S. Stringari, "Bose-Einstein condensation and superfluidity", Oxford Science Publications, Oxford, UK, 2016.
Controllo di autorità | LCCN (EN) sh92002529 · GND (DE) 4191170-2 · BNF (FR) cb12316005b (data) · J9U (EN, HE) 987007556097005171 |
---|
Portale Fisica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di fisica