Curva del drago di Heighway
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a5/Harter-Heighways_dragon_curve_%28IFS%29.jpg/280px-Harter-Heighways_dragon_curve_%28IFS%29.jpg)
La curva del drago di Heighway, o semplicemente curva del drago ( o "Curva di Harter-Heighway" o "Drago di Heighway"), è una curva ricorsiva non auto-intersecante il cui nome deriva dalla sua somiglianza con la nota creatura mitica. Fu per la prima volta studiata dal fisico della NASA John Heighway in collaborazione con Bruce Banks e William Harter. La curva è un frattale che viene sviluppato costruendo due lati del quadrato che ha per diagonale un segmento dato, quindi il segmento iniziale viene cancellato; si ripete il processo di sostituzione sui due segmenti ottenuti alternando l'orientamento dei triangoli (non alternando l'orientamento si ottiene la curva del drago di Lévy); si ripete quest'operazione innumerevoli volte per ogni segmento risultante dall'insieme di sostituzioni precedenti.
È stata descritta da Martin Gardner nella sua Cronaca dei giochi matematici degli Stati Uniti nel 1967. Molte delle sue proprietà sono state pubblicate da Chandler Davis e Donald Knuth.
Costruzione
Come detto sopra questa curva può essere descritta in questo modo: partendo da un segmento di base, si sostituisca ogni segmento con due segmenti uguali uniti ad angolo retto e con una rotazione di 45° alternativamente a destra e a sinistra, si reiteri quindi l'operazione:[1]
![Le prime 5 iterazioni e la 9°](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/97/Dragon_curve_iterations_%282%29.svg/700px-Dragon_curve_iterations_%282%29.svg.png)
![Ricorsiva costruzione della curva](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/67/DragonCurve_animation.gif/400px-DragonCurve_animation.gif)
Può essere formalizzato come sistema di Lindenmayer con[1]
- angolo 90°
- stringa iniziale FX
- regole di riscrittura delle stringhe
- X X+YF+
- Y -FX-Y
dove
- F=traccia linea,
- X/Y=posizione pari o dispari,
- +/-=+90°/-90°
La curva del drago di Heighway è più semplicemente descritta come l’insieme limite del seguente sistema di funzioni iterate nel piano complesso:
con i punti iniziali nell'insieme .
Utilizzando invece coppie di numeri reali, è descritta dalle due funzioni che consistono in:
Equivalenza con una striscia piegata[2]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f1/Dragon_curve_paper_strip.png/800px-Dragon_curve_paper_strip.png)
Tracciando un'iterazione della curva del drago di Heighway da un'estremità all'altra, si incontra una serie di “svolte” a 90°, alcune a destra e altre a sinistra. Per le prime iterazioni, la sequenza delle curve destra (Dª) e sinistra (Sª) è la seguente:
- 1ª iterazione: Dª
- 2ª iterazione: Dª • Dª • Sª
- 3ª iterazione: Dª • Dª • Sª • Dª • Dª • Sª • Sª
- 4ª iterazione: Dª • Dª • Sª • Sª • Dª • Sª • Sª • Dª • Dª • Dª • Sª • Sª • Dª • Sª • Sª.
Questo suggerisce il seguente schema: ogni iterazione è formata prendendo l'iterazione precedente, aggiungendo una Dª alla fine, e quindi prendendo di nuovo l'iterazione originale, ruotandola retrograda, scambiando ogni lettera e aggiungendo il risultato dopo la Dª. A causa dell'auto -similitudine mostrata dalla curva del drago, questo significa in effetti che ogni iterazione successiva aggiunge una copia dell'ultima iterazione ruotata in senso antiorario al frattale.
Questo modello a sua volta suggerisce il seguente metodo per creare modelli di iterazioni della curva di Heighway piegando una striscia di carta. Prendi una striscia di carta e piegala a metà a destra. Piegalo di nuovo a metà a destra. Se si riaprisse la striscia a questo punto la sequenza di svolte sarebbe RRL, cioè la seconda delle iterazioni sopra riportate. Continuando invece a piegare nuovamente la striscia a metà a destra, la sequenza di svolte della striscia (se venisse spiegata ora) è RRLRRLL - la terza iterazione. Continuando a piegare la striscia a metà a destra si creerebbero ulteriori iterazioni del drago di Heighway (anche se, in pratica, la striscia diventa troppo spessa per piegarsi bruscamente dopo quattro o cinque iterazioni).
Dimensioni
Nonostante il suo aspetto complicato, la curva del drago di Heighway ha dimensioni semplici.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d7/Dimensions_fractale_dragon.png/500px-Dimensions_fractale_dragon.png)
Si noti che i valori e sono limiti e non valori effettivi. Anche la sua superficie è abbastanza semplice: se il segmento iniziale è uguale a 1, la sua superficie è uguale a .[3] Questo risultato è stato ricavato grazie alle sue capacità di tassellazione (vedere sotto).
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c4/Auto-similarity_dragon_curve.png/350px-Auto-similarity_dragon_curve.png)
La sua dimensione frattale è .[3]
E in effetti molte "auto-similitudini" possono essere viste in questa curva. La più ovvia è la ripetizione dello stesso modulo con un'inclinazione di 45° e con un rapporto di riduzione di .
La sua frontiera (o bordo) ha una lunghezza infinita, poiché aumenta di un fattore maggiore di a ogni iterazione, ma la sua dimensione frattale è stata approssimata numericamente da Chang e Zhang[4][5]
Che è la radice dell'equazione:
Tassellatura del piano
La curva del drago può tassellare il piano in differenti modi.
![Esempio 1 di tassellatura](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6f/Full_tiling_dragon.svg/350px-Full_tiling_dragon.svg.png)
![Esempio 2 di tassellatura](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9c/Full_tiling_dragon2.svg/350px-Full_tiling_dragon2.svg.png)
![Esempio 3 di tassellatura](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a0/Full_tiling_dragon3.svg/350px-Full_tiling_dragon3.svg.png)
Ingrandendo si vede che vengono usati i seguenti elementi di incastro
- 1° incastro a 4
- 2° incastro a 4
- 3° incastro a 4
- 1° incastro a 2
- 2° incastro a 2 (detto anche curva twindragon)
- 3° incastro a 2
Essa può anche tassellare se stessa
![The dragon curve can tile itself](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/52/Dragon_tiling_dragon.svg/350px-Dragon_tiling_dragon.svg.png)
E in dimensioni crescenti forma una spirale, con 4 di queste spirali si può tassellare il piano
![Dragon curves of increasing sizes (ratio sqrt(2)) form an infinite spiral. 4 of these spirals (with rotation 90°) tile the plane](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bd/Dragon_spiral_tiling.png/350px-Dragon_spiral_tiling.png)
Note
- ^ a b (EN) Iterazioni della curva del drago - Kevin Ryde marzo 2017, bozza 15 (PDF), su download.tuxfamily.org. URL consultato il 19 agosto 2018.
- ^ (EN) Curva del drago, su mathcurve.com. URL consultato il 19 agosto 2018.
- ^ a b (EN) Heighway Dragon Area, su ecademy.agnesscott.edu. URL consultato il 19 agosto 2018.
- ^ (EN) Fractal dimension of the boundary of the Dragon curve, su poignance.coiraweb.com. URL consultato il 19 agosto 2018.
- ^ (EN) The Boundary of Periodic Iterated Function Systems]" di Jarek Duda, The Wolfram Demonstrations Project. Recurrent construction of the boundary of dragon curve., su demonstrations.wolfram.com. URL consultato il 19 agosto 2018.
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Collegamenti esterni
- (EN) Eric W. Weisstein, Curva del drago di Heighway, su MathWorld, Wolfram Research.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/af/Crystal128-kmplot.svg/25px-Crystal128-kmplot.svg.png)