Condizionamento (matematica)

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Il condizionamento in matematica, in particolare nel calcolo numerico, riguarda il rapporto tra errore commesso sul risultato di un calcolo e incertezza sui dati in ingresso.

Un problema è ben condizionato quando la soluzione del problema con delle piccole variazioni, non differisce molto dalla soluzione del problema originale; al contrario, un problema mal condizionato è un problema dove le soluzioni sono molto sensibili a piccole perturbazioni dei dati iniziali.

Un esempio di problema mal condizionato è il calcolo delle radici di un polinomio a partire dalla sequenza dei suoi coefficienti. Questo problema fu scoperto dal matematico James H. Wilkinson, quando per testare un nuovo computer gli fece calcolare le radici del polinomio

${\displaystyle f(x)=\prod _{i=1}^{20}(x-i)=(x-1)(x-2)\cdots (x-20)}$

usando il metodo di Newton. Le radici di questo polinomio sono i numeri interi da 1 a 20, ma i risultati calcolati dal computer erano complessi. Questo risultato non era dovuto ad errori del computer, infatti si ottengono risultati complessi anche con l'attuale standard di numeri con virgola mobile.

Si consideri ad esempio il seguente sistema di equazioni lineari:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x+y&=&2\\1001x+1000y&=&2001\end{matrix}}\right.}$

che ha soluzione per ${\displaystyle x=1}$ ed ${\displaystyle y=1}$.

Se si considera lo stesso sistema perturbato dell'1% sulla variabile x:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}(1+0.01)x+y&=&2\\1001x+1000y&=&2001\end{matrix}}\right.}$

si ottiene come soluzione la coppia ${\displaystyle x=-{\frac {1}{9}};y={\frac {1901}{900}}}$.

Il condizionamento di un sistema di equazioni lineare ${\displaystyle Ax=b}$ è definito da:

${\displaystyle \Vert A^{-1}\Vert \cdot \Vert A\Vert }$,

dove ${\displaystyle \|\cdot \|}$ è una norma di una matrice. Più è grande questo numero più il problema è mal condizionato. Nell'esempio del sistema di equazioni, il condizionamento è

${\displaystyle \left\|{\begin{bmatrix}1&1\\1001&1000\end{bmatrix}}^{-1}\right\|_{1}\cdot \left\|{\begin{bmatrix}1&1\\1001&1000\end{bmatrix}}\right\|_{1}=2.0050e+06.}$

Il numero di condizionamento nel calcolo numerico rappresenta il grado di condizionamento di un problema. Esso dipende strettamente dalla norma indotta considerata. È comune però l'uso del numero di condizionamento spettrale, relativo alla norma 2 e calcolato a partire dalla definizione in modo equivalente come:

${\displaystyle K_{2}(A)={\frac {\max(\lambda (A))}{\min(\lambda (A))}}}$

se la matrice è simmetrica definita positiva, dove ${\displaystyle \lambda }$(A) sono gli autovalori della matrice A.

Si distinguono due casi: ${\displaystyle K\sim 1}$ e ${\displaystyle K\gg 1}$, nel primo si dice che il problema è ben condizionato, nel secondo si dice che il problema è mal condizionato

• Stabilità numerica
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