Bicupola pentagonale giroelongata

Bicupola pentagonale giroelongata

Tipo	Solido di Johnson J₄₅ - J₄₆ - J₄₇
Forma facce	3×10 Triangoli 10 Quadrati 2 Pentagoni
Nº facce	42
Nº spigoli	70
Nº vertici	30
Caratteristica di Eulero	2
Incidenza dei vertici	10(3.4.5.4) 2.10(3⁴.4)
Gruppo di simmetria	D₅
Proprietà	Convessità, chiralità
Sviluppo piano

Manuale

In geometria solida, la bicupola pentagonale giroelongata è un poliedro con 42 facce che può essere costruito, come intuibile dal suo nome, allungando una bicupola pentagonale, sia essa un'ortobicupola pentagonale o una girobicupola pentagonale, inserendo un'antiprisma decagonale tra la due cupole pentagonali che la compongono.

Caratteristiche

Se tutte le sue facce sono poligoni regolari una bicupola pentagonale giroelongata è uno dei 92 solidi di Johnson, in particolare quello indicato come J₄₆, ossia un poliedro strettamente convesso avente come facce dei poligoni regolari ma comunque non appartenente alla famiglia dei poliedri uniformi.^[1]

Tale bicupola è uno dei cinque solidi di Johnson chirali, vale a dire che di essa esiste sia una versione sinistrorsa, sia una versione destrorsa. Nella figura qui riportata a sinistra, ogni faccia quadrata della metà inferiore del poliedro è connessa a una delle facce quadrate nella parte superiore a destra di essa attraverso due triangoli, nella versione con chiralità opposta, invece, ogni faccia quadrata della metà inferiore è connessa, sempre attraverso due triangoli, a una faccia quadrata posta nella metà superiore a sinistra di essa. Le due forme chirali non sono considerate due solidi di Johnson diversi.

Versione destrorsa
Versione sinistrorsa

Per quanto riguarda i 30 vertici di questo poliedro, su 10 di essi incidono una faccia pentagonale, due quadrate e una triangolare, mentre sugli altri 20 incidono una faccia quadrata e quattro triangolari.

Formule

Considerando una bicupola pentagonale giroelongata avente come facce dei poligoni regolari aventi lato di lunghezza $a$ , le formule per il calcolo del volume $V$ e della superficie $A$ risultano essere:

V={\frac {a^{3}}{3}}\left(5+4{\sqrt {5}}+5{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {650+290{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {5}}-1\right)}}\right)\approx 11,397378\ldots a^{3};

A={\frac {a^{2}}{2}}\left(20+15{\sqrt {3}}+{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)\approx 26,4313359\ldots a^{2}.

Note

^ Norman W. Johnson, Convex Polyhedra with Regular Faces, in Canadian Journal of Mathematics, vol. 18, Canadian Mathematical Society, 1966, pp. 169-200, DOI:10.4153/CJM-1966-021-8. URL consultato il 14 luglio 2021.