Arcocoseno

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In matematica, in particolare in trigonometria, l'arcocoseno è definito come funzione inversa del coseno di un angolo. La funzione coseno non è biiettiva, quindi non invertibile. È possibile, però, applicare un restringimento del dominio e del codominio in modo da renderla sia iniettiva che suriettiva. Per convenzione si preferisce restringere il dominio della funzione coseno nell'intervallo [ 0 , π ] {\displaystyle \left[0,\pi \right]} .[1]

Notazione

La notazione matematica dell'arcocoseno è arccos {\displaystyle \arccos } ; è comune anche la scrittura cos − 1 {\displaystyle \cos ^{-1}} . In diversi linguaggi di programmazione e sulle tastiere di alcune calcolatrici si utilizzano le forme ACOS e ACS.

Proprietà

Grafico della funzione y = arccos ⁡ ( x ) {\displaystyle y=\arccos(x)}

L'arcocoseno è una funzione continua e strettamente decrescente, definita per tutti i valori nell'intervallo [ − 1 , 1 ] {\displaystyle \left[-1,1\right]} :[2]

arccos : [ − 1 , 1 ] → [ 0 , π ] . {\displaystyle \arccos \colon \left[-1,1\right]\to \left[0,\pi \right].}

Il suo grafico è simmetrico rispetto al punto ( 0 , π 2 ) {\displaystyle \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right)} , essendo arccos ⁡ x = π − arccos ⁡ ( − x ) {\displaystyle \arccos x=\pi -\arccos \left(-x\right)} .

La derivata della funzione arcocoseno è:[3] [4]

d d x arccos ⁡ x = − 1 1 − x 2 . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos x=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}

La serie di Taylor corrispondente è:[5]

arccos ⁡ x = π 2 − ∑ k = 0 ∞ ( − 1 2 k ) ( − 1 ) k x 2 k + 1 2 k + 1 = π 2 − x − 1 6 x 3 − 3 40 x 5 − 5 112 x 7 − ⋯ . {\displaystyle \arccos x={\frac {\pi }{2}}-\sum _{k=0}^{\infty }{-{\frac {1}{2}} \choose k}(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}={\frac {\pi }{2}}-x-{\frac {1}{6}}x^{3}-{\frac {3}{40}}x^{5}-{\frac {5}{112}}x^{7}-\cdots .}

Per via della già descritta simmetria vale la relazione per argomenti negativi:

arccos ⁡ ( − x ) = π − arccos ⁡ x {\displaystyle \arccos \left(-x\right)=\pi -\arccos x} .

Inoltre è possibile combinare la somma o differenza di due arcocoseni in un'espressione dove l'arcocoseno figura una volta sola:

arccos ⁡ x 1 + arccos ⁡ x 2 = { arccos ⁡ ( x 1 x 2 − 1 − x 1 2 1 − x 2 2 ) x 1 + x 2 ≥ 0 2 π − arccos ⁡ ( x 1 x 2 − 1 − x 1 2 1 − x 2 2 ) x 1 + x 2 < 0 {\displaystyle \arccos x_{1}+\arccos x_{2}={\begin{cases}\arccos \left(x_{1}x_{2}-{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\right)&x_{1}+x_{2}\geq 0\\2\pi -\arccos \left(x_{1}x_{2}-{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\right)&x_{1}+x_{2}<0\end{cases}}}
arccos ⁡ x 1 − arccos ⁡ x 2 = { − arccos ⁡ ( x 1 x 2 + 1 − x 1 2 1 − x 2 2 ) x 1 ≥ x 2 arccos ⁡ ( x 1 x 2 + 1 − x 1 2 1 − x 2 2 ) x 1 < x 2 {\displaystyle \arccos x_{1}-\arccos x_{2}={\begin{cases}-\arccos \left(x_{1}x_{2}+{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\right)&x_{1}\geq x_{2}\\\arccos \left(x_{1}x_{2}+{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\right)&x_{1}<x_{2}\end{cases}}} .

Applicazioni

In un triangolo rettangolo l'ampiezza in radianti di un angolo acuto equivale all'arcocoseno del rapporto fra il suo cateto adiacente e l'ipotenusa.[6]

Note

  1. ^ Baroncini Paolo, Manfredi Roberto, Fragni Ilaria, Lineamenti.Math Blu Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7. p. 186
  2. ^ Maderna C. e Soardi P.M., Lezioni di Analisi Matematica, CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4. p. 460
  3. ^ Maderna C. e Soardi P.M., Lezioni di Analisi Matematica, CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4. p. 218
  4. ^ Baroncini Paolo, Manfredi Roberto, Fragni Ilaria, Lineamenti.Math Blu Volume 5, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0433-4. p. 295
  5. ^ Maderna C. e Soardi P.M., Lezioni di Analisi Matematica, CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4. p. 239
  6. ^ Baroncini Paolo, Manfredi Roberto, Fragni Ilaria, Lineamenti.Math Blu Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7. p. 376

Bibliografia

  • Carla Maderna e Paolo M. Soardi, Lezioni di Analisi Matematica, CittàStudi Edizioni - Milano, 1995, ISBN 88-251-7090-4.
  • Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 4, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7.
  • Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu Volume 5, Ghisetti e Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0433-4.

Voci correlate

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