La radice -esima, di un numero reale non negativo, è la soluzione reale non negativa dell'equazione
In questa voce è descritto un metodo numerico, che converge velocemente, per il calcolo di questa radice. I passi dell'algoritmo sono:
- si prova a stimare un valore iniziale di partenza
- si pone che equivale a con
- si ripete il secondo passo fino a che si raggiunge la precisione desiderata, cioè
Un caso speciale è il calcolo numerico della radice quadrata, cioè il caso :
La derivazione dell'algoritmo si basa sul metodo numerico di Newton-Raphson.
Derivazione dal metodo di Newton-Raphson
Il metodo delle tangenti o di Newton-Raphson è un metodo per trovare numericamente lo zero di una funzione Lo schema generale è:
- partire da una stima iniziale
- ripetere il secondo passo fino a che si raggiunga la precisione desiderata.
Il calcolo numerico della radice -esima si può concepire come la ricerca di uno zero della funzione la cui derivata è:
In questo modo si costruisce l'iterazione:
Esempio numerico
Si vuole calcolare la radice quarta di
Si imposta un primo valore, ad esempio 1000. Utilizzando un foglio di calcolo si può verificare una veloce convergenza:
Foglio di calcolo esemplificativo. Il numero di cui si vuole calcolare la radice è nella casella A1= e l'esponente della radice nella casella A2.
Si pone la stima iniziale, 1000, nella casella B2.
I valori vengono generati inserendo nella casella B3: (($A$2–1)*B2+$A$1/B2^($A$2–1))/$A$2
6901827461 | stima | valore calcolato | differenza |
4 | 1000 | 1E+12 | -9,93098E+11 |
| 751,7254569 | 3,19328E+11 | -3,12426E+11 |
| 567,8559656 | 1,03981E+11 | -97078880593 |
| 435,3149815 | 35909921459 | -29008093998 |
| 347,4029409 | 14565787245 | -7663959784 |
| 301,7054079 | 8285760564 | -1383933103 |
| 289,1072856 | 6986121665 | -84294203,78 |
| 288,235197 | 6902208103 | -380642,2278 |
| 288,2312231 | 6901827469 | -7,871785164 |
| 288,231223 | 6901827461 | 0 |
Bibliografia
- Kendall E. Atkinson, An introduction to numerical analysis, 2nd, New York, Wiley, 1989, ISBN 0-471-62489-6.
Voci correlate
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