In matematica, un'algebra di Lie
si dice risolubile se la sua serie derivata, definita come
![{\displaystyle {\mathfrak {g}}\geq [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\geq [[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]\geq [[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]],[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]]\geq ...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e3e6f828cca1b11fd0cdb73faa594e1d37510f6)
diviene 0 dopo un numero finito di passaggi.
Ogni algebra di Lie nilpotente è risolubile, ma il viceversa non è vero. L'ideale risolubile massimale è detto radicale.
Proprietà
Sia
un'algebra di Lie finito-dimensionale su un campo di caratteristica 0. Allora sono equivalenti:
è risolubile
, la rappresentazione aggiunta di
, è risolubile. - Esiste una successione finita di ideali
di
tali che:
dove
per ogni
.
è nilpotente.
Il teorema di Lie afferma che se
è uno spazio vettoriale finito-dimensionale su un campo algebricamente chiuso di caratteristica 0, e
è un'algebra di Lie risolubile su
, allora esiste una base di
per la quale tutte le matrici degli elementi di
sono triangolari superiori.
Bibliografia
- Humphreys, James E. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1972. ISBN 0-387-90053-5
Voci correlate
Controllo di autorità | GND (DE) 4382957-0 |
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