Bilangan Skewes

Dalam teori bilangan, bilangan Skewes adalah bilangan besar yang digunakan oleh matematikawan asal Afrika Selatan bernama Stanley Skewes sebagai batas atas untuk bilangan asli ${\displaystyle x}$ yang terkecil, yang dinyatakan sebagai $${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x).}$$ Disini, π adalah fungsi penghitung bilangan prima (prime-counting function) dan li adalah fungsi integral logaritmik.

Littlewood (1914) membuktikan bahwa bilangan tersebut ada (dan juga untuk bilangan yang pertama). Ia menemukan bahwa tanda dari selisih ${\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} (x)}$ berubah-ubah secara tak terhingga.^[1] Akan tetapi, buktinya tidak memperlihatkan bilangan ${\displaystyle x}$ yang konkret.

Skewes (1933) membuktikan bahwa, dengan mengasusmi hipotesis Riemann adalah benar, terdapat suatu bilangan ${\displaystyle x}$ yang tidak memenuhi pertidaksamaan ${\displaystyle \pi (x)<\operatorname {li} (x)}$,^[2] contohnya seperti $${\displaystyle e^{e^{e^{79}}}<10^{10^{10^{34}}}.}$$ Tanpa mengasumsi hipotesis Riemann, Skewes (1955) membuktikan bahwa pastinya ada nilai ${\displaystyle x}$:^[3] $${\displaystyle e^{e^{e^{e^{7.705}}}}<10^{10^{10^{964}}}.}$$

Catatan

Referensi

• Littlewood, J. E. (1914), "Sur la distribution des nombres premiers", Comptes Rendus, 158: 1869–1872, JFM 45.0305.01 
• Skewes, S. (1933), "On the difference ${\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} (x)}$", Journal of the London Mathematical Society, 8: 277–283, doi:10.1112/jlms/s1-8.4.277, JFM 59.0370.02, Zbl 0007.34003 
• Skewes, S. (1955), "On the difference ${\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} (x)}$ (II)", Proceedings of the London Mathematical Society, 5: 48–70, doi:10.1112/plms/s3-5.1.48, MR 0067145