Algoritma Gauss-Newton
Dalam matematika, algoritma Gauss-Newton adalah penyelesaian yang digunakan untuk memecahkan masalah-masalah kuadrat terkecil. Algoritma ini merupakan sebuah perubahan dari metode Newton untuk mengoptimalkan sebuah fungsi. Tidak seperti metode Newton, algoritma Gauss-Newton hanya bisa digunakan untuk mengoptimumkan jumlah dari nilai fungsi kuadrat. Metode ini adalah hasil penemuannya matematikawan yang bernama Carl Friedrich Gauss.
Permasalahan
Diberikan m fungsi f1, ..., fm of n parameters p1, ..., pn with m≥n, kita ingin meminimumkan jumlah
Disini, p adalah vektor kolom (p1, ..., pn)T.
Algoritme
Algoritme Gauss-Newton merupakan prosedur iterasi. Ini berarti bahwa pengguna harus menetapkan sebuah penduga pertama untuk parameter vektor p, yang mana akan kita sebut p0.
Berikutnya penduga pk untuk parameter vektor yang kemudian dihasilkan oleh perulangan hubungan
di mana f=(f1, ..., fm)T dan Jf(p) menunjukkan Jacobian dari f saat p.
Matriks invers tidak pernah dihasilakan secara eksplisit dalam praktiknya. Sebagai pengganti, kita gunakan
Dan kita hitung perbaikan δk dengan menyelesaikan sistem linear
- .
Penelusuran garis
Sebuah implementasi yang baik dari algoritme Gauss-Newton juga menggunakan algoritme penelusuran garis: sebagai pengganti dari formula sebelumnya untuk pk+1, kita gunakan
Dimana kita berusaha memilih sebuah nilai optimal untuk bilangan αk.
Derivasi dari metode Newton
Hubungan perulangan metode Newton untuk meminimumkan sebuah fungsi S adalah
di mana dan berarti gradien dan Hessian dari S . Sekarang kita misalkan S memiliki bentuk
di mana adalah sebuah nilai fungsi vector yang merupakan komponen .
Dalam kasus ini, gradien diberikan oleh
di mana adalah Jacobian dari , dan Hessian diberikan oleh
di mana adalah Hessian dari .
Catatan bahwa syarat kedua dalam ekspresi ini untuk v menuju nol sama menuju nol. Jadi jika nilai minimum dari S(p) tertutup untuk nol, dan nilai percobaan dari p adalah tertutup untuk minimum, kemudian kita bisa mengira Hessian dengan:
Dengan memasukkan ekspresi ini untuk gradeien dan Hessian kedalam hubungan perulangan sebelumnya kita memiliki
Algoritme lainnya
Metode lain untuk menyelesaikan masalah kuadrat terkecil hanya menggunakan derivatif pertama adalah penurunan gradien. Bagaimanapun, metode ini tidak memasukkan nilai maupun perhitungan derivatif kedua dengan perkiraan yang sama. Karenanya, metode ini tidak efisien untuk fungsi-fungsi tertentu, seperti fungsi Rosenbrock.
Pada kasus di mana minimum lebih besar dari nol, pengabaian syarat/ketentuan pada Hessian bisa jadi signifikan. Pada kasus ini, salah satunya bisa menggunakan algoritme Levenberg-Marquardt, yang merupakan kombinasi dari Gauss-Newton dan penurunan gradien.
Referensi
- Nocedal, Jorge (1999). Numerical optimization. New York: Springer. ISBN 0387987932. Parameter
|coauthors=
yang tidak diketahui mengabaikan (|author=
yang disarankan) (bantuan)
- Deuflhard, P. (2003). Numerical analysis in modern scientific computing: an introduction (edisi ke-2nd ed). New York: Springer. ISBN 0387954104. Parameter
|coauthors=
yang tidak diketahui mengabaikan (|author=
yang disarankan) (bantuan)Pemeliharaan CS1: Teks tambahan (link)