Weierstrass faktorizációs tétele

Hasonló cikkcímek és megnevezések: Weierstrass-tétel (egyértelműsítő lap)

A komplex analízisben Weierstrass faktorizációs tétele azt jelenti, hogy komplex számok minden előre megadott megszámlálható halmazához van holomorf függvény, aminek pontosan ezek a nullhelyei. Egy ilyen függvény megadható Weierstrass-szorzatként.

A nullhelyek véges halmazához megadható egy polinom, aminek ezek a gyökei. Ha ezek ${\displaystyle a_{1},\dots a_{n}\;\in \mathbb {C} }$, akkor a polinom ${\displaystyle \left(1-{\frac {z}{a_{1}}}\right)\cdots \left(1-{\frac {z}{a_{n}}}\right)}$. Megszámlálható végtelen esetben a megfelelő szorzat nem konvergál, de a konvergencia biztosítható. Erről az

${\displaystyle 1-z=\exp(\log(1-z))=\exp \left(-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k}}\right),\quad z\in \mathbb {C} ,|z|<1}$

azonosság alapján tényezőket vezet be, amelyek alakja

${\displaystyle E_{n}(z):=(1-z)\exp \left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {z^{k}}{k}}\right)}$.

Az ${\displaystyle E_{n}}$ egyetlen nullhelye ${\displaystyle 1}$-nél van, azonban az ${\displaystyle 1-z}$-vel szemben az egységkör minden kompakt halmazán tetszőlegesen közel kerül ${\displaystyle 1}$-hez, ha elég nagy. Ezzel elérhető a végtelen szorzat konvergenciája.

Legyen ${\displaystyle D}$ pozitív szorzó az ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {C} }$ tartományban, és ${\displaystyle a_{k}}$ egy sorozat, amit úgy választunk, hogy ${\displaystyle D=D(0)\cdot 0+\sum _{k}a_{k}}$. Ez azt jelenti, hogy a sorozat végighalad ${\displaystyle D}$ tartóin a nullpontok kivételével a szükséges multiplicitással. Ez a ${\displaystyle D}$ divizorhoz tartozó sorozat.

Egy ${\displaystyle z^{D(0)}\prod _{k\geq 1}f_{k}(z)}$ a ${\displaystyle D}$ divizor Weierstrass-szorzata, ha:

• ${\displaystyle f_{k}}$ holomorf ${\displaystyle \Omega }$-ban
• ${\displaystyle f_{k}}$-nak pontosan egy egy multiplicitású nullhelye van ${\displaystyle a_{k}}$-ban
• ${\displaystyle \textstyle \prod _{k}f_{k}}$ normálisan konvergál ${\displaystyle \Omega }$ minden kompakt részhalmazán.

Minden pozitív ${\displaystyle D}$ divizorhoz vannak ${\displaystyle \mathbb {C} }$-ben Weierstrass-szorzatok, és alakjuk ${\displaystyle z^{D(0)}\prod _{k\geq 1}E_{k-1}\left({\frac {z}{a_{k}}}\right)}$. Ahol ${\displaystyle a_{k}}$ a divizorhoz tartozó ${\displaystyle D}$ sorozat.

• Minden divizorhoz van meromorf függvény előre megadott null- és pólushelyekhez. Minden divizor fődivizor.
• Ha ${\displaystyle h}$ meromorf függvény, akkor vannak hozzá ${\displaystyle f,g}$ holomrf függvények, amelyeknek nincs közös nullhelyük úgy, hogy ${\displaystyle h=f/g}$. A meromorf függvények alkotják a holomorf függvények integritási tartományának hányadostestét.
• A holomorf függvények gyűrűjében minden gyűrűjében minden nemüres részhalmaznak van legnagyobb közös osztója, habár ez a gyűrű nem faktorizációs gyűrű.

Legyen ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {C} }$ tartomány, ${\displaystyle D}$ pozitív divizor ${\displaystyle \Omega }$ tartományban, aminek ${\displaystyle T}$ a tartója, és jelölje ${\displaystyle T':={\overline {T}}\!\setminus \!T}$ ${\displaystyle T}$ torlódási pontjainak halmazát ${\displaystyle \mathbb {C} }$-ben. Ekkor a ${\displaystyle D}$ divizorhoz vannak Weierstrass-szorzatok ${\displaystyle \mathbb {C} \!\setminus \!T'}$-ben. Általában az ${\displaystyle \Omega }$ tartománynál nagyobb területen konvergálnak.

1895-ben Pierre Cousin tovább általánosította Weierstrass faktorizációs tételét, és bizonyította is ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ cilindertartományaira. Arra azonban nem tudott megoldást találni, hogy konstruálható-e meromorf függvény egy adott divizorhoz. EZ volt a Cousin-probléma.

A problémát Jean-Pierre Serre oldotta meg 1953-ban: Ha ${\displaystyle X}$ Stein-sokaság, akkor egy divizor pontosan egy meromorf függvény divizora, hogyha Chern-kohomológiaosztálya eltűnik ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$-ben. Ekkor mivel ${\displaystyle X}$ Stein-sokaság és ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )=0}$, minden divizor fődivizor. Ekkor ugyanis a következő sorozat egzakt:

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}^{*}(X)\to {\mathcal {M}}^{*}(X)\to {\mathcal {D}}(X)\rightarrow H^{2}(X,\mathbb {Z} )\to 0}$

ahol ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ a divizorok nyalábja.

• Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 2. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-57052-3.
• Hans Grauert, Reinhold Remmert: Theory of Stein Spaces. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-00373-8.

Ez a szócikk részben vagy egészben a Weierstraßscher Produktsatz című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.