Távolságtranzitív gráf
Gráfcsaládok automorfizmusukkal meghatározva | ||||
távolságtranzitív | távolságreguláris | erősen reguláris | ||
szimmetrikus | t-tranzitív, t ≥ 2 | ferdeszimmetrikus | ||
(ha összefüggő) csúcs- és éltranzitív | éltranzitív és reguláris | éltranzitív | ||
csúcstranzitív | reguláris | (ha páros) bireguláris | ||
Cayley-gráf | zérószimmetrikus | aszimmetrikus |
A matematika, azon belül a gráfelmélet területén egy távolságtranzitív gráf (distance-transitive graph) olyan reguláris gráf, melynek bármely két, i távolságra lévő v és w csúcsát és ugyanolyan távolságra lévő tetszőleges x és y csúcsút tekintve van olyan automorfizmus, ami v-t x-be, illetve w-t y-ba viszi. A távolságtranzitív gráfokat elsőként Norman L. Biggs és D. H. Smith definiálták, 1971-ben.
A távolságtranzitív gráfok főleg azért érdekesek, mert nagy automorfizmus-csoporttal rendelkeznek. Egyes érdekes véges csoportok távolságtranzitív gráfok automorfizmus-csoportjaként állnak elő, főleg azok, melyek 2 átmérőjűek.
Példák
Néhány példa távolságtranzitív gráfcsaládokra:
- A Johnson-gráfok.
- A Grassmann-gráfok.
- A Hamming-gráfok (benne a hiperkockagráfok, teljes gráfok, négyzetes bástyagráfok)
- hajtott kockagráfok (folded cube graphs).
A távolságtranzitív gráfok osztályozása
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/32/BiggsSmith.svg/220px-BiggsSmith.svg.png)
Az összes, 13-nál nem nagyobb fokszámú véges távolságtranzitív gráf ismert,[1] de a nagyobb fokszámú gráfok osztályozása még nyitott kérdés.
Ezek közül 1971-es bemutatásuk után elsőként Biggs és Smith mutatták meg, hogy csak 12 véges 3-reguláris távolságtranzitív gráf létezik. Ezek a következők:
Gráf neve | Csúcsok száma | Átmérő | Girth | Metszési tömb |
---|---|---|---|---|
K4 teljes gráf | 4 | 1 | 3 | {3;1} |
K3,3 teljes páros gráf | 6 | 2 | 4 | {3,2;1,3} |
Petersen-gráf | 10 | 2 | 5 | {3,2;1,1} |
kockagráf | 8 | 3 | 4 | {3,2,1;1,2,3} |
Heawood-gráf | 14 | 3 | 6 | {3,2,2;1,1,3} |
Papposz-gráf | 18 | 4 | 6 | {3,2,2,1;1,1,2,3} |
Coxeter-gráf | 28 | 4 | 7 | {3,2,2,1;1,1,1,2} |
Tutte–Coxeter-gráf | 30 | 4 | 8 | {3,2,2,2;1,1,1,3} |
dodekaédergráf | 20 | 5 | 5 | {3,2,1,1,1;1,1,1,2,3} |
Desargues-gráf | 20 | 5 | 6 | {3,2,2,1,1;1,1,2,2,3} |
Biggs–Smith-gráf | 102 | 7 | 9 | {3,2,2,2,1,1,1;1,1,1,1,1,1,3} |
Foster-gráf | 90 | 8 | 10 | {3,2,2,2,2,1,1,1;1,1,1,1,2,2,2,3} |
Távolságreguláris gráfokkal való kapcsolata
Minden távolságtranzitív gráf távolságreguláris (azok általánosításai), de fordítva nem feltétlenül van így.
1969-ben egy Georgij Adelson-Velszkij vezetésével működő orosz munkacsoport kimutatta, hogy léteznek olyan távolságreguláris gráfok, melyek nem távolságtranzitívak. A legkisebb ilyen tulajdonságú gráf a Shrikhande-gráf, a 3-reguláris gráfok közül pedig az egyetlen a 126 csúcsból álló Tutte 12-cage.
Fordítás
- Ez a szócikk részben vagy egészben a Distance-transitive graph című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
Jegyzetek
- ↑ Brouwer et al. 1989, pp. 221-225
- Korai cikkek
- Adel'son-Vel'skii, G. M.; Veĭsfeĭler, B. Ju. & Leman, A. A. et al. (1969), "An example of a graph which has no transitive group of automorphisms", Doklady Akademii Nauk SSSR 185: 975–976.
- Biggs, Norman (1971), "Intersection matrices for linear graphs", Combinatorial Mathematics and its Applications (Proc. Conf., Oxford, 1969), London: Academic Press, pp. 15–23.
- Biggs, Norman (1971), Finite Groups of Automorphisms, vol. 6, London Mathematical Society Lecture Note Series, London & New York: Cambridge University Press.
- Biggs, N. L. & Smith, D. H. (1971), "On trivalent graphs", Bulletin of the London Mathematical Society 3 (2): 155–158, DOI 10.1112/blms/3.2.155.
- Smith, D. H. (1971), "Primitive and imprimitive graphs", The Quarterly Journal of Mathematics. Oxford. Second Series 22 (4): 551–557, DOI 10.1093/qmath/22.4.551.
- Felmérések
- Biggs, N. L. (1993), "Distance-Transitive Graphs", Algebraic Graph Theory (2nd ed.), Cambridge University Press, pp. 155–163, chapter 20.
- Van Bon, John (2007), "Finite primitive distance-transitive graphs", European Journal of Combinatorics 28 (2): 517–532, DOI 10.1016/j.ejc.2005.04.014.
- Brouwer, A. E.; Cohen, A. M. & Neumaier, A. (1989), "Distance-Transitive Graphs", Distance-Regular Graphs, New York: Springer-Verlag, pp. 214–234, chapter 7.
- Cohen, A. M. Cohen (2004), "Distance-transitive graphs", in Beineke, L. W. & Wilson, R. J., Topics in Algebraic Graph Theory, vol. 102, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Cambridge University Press, pp. 222–249.
- Godsil, C. & Royle, G. (2001), "Distance-Transitive Graphs", Algebraic Graph Theory, New York: Springer-Verlag, pp. 66–69, section 4.5.
- Ivanov, A. A. (1992), "Distance-transitive graphs and their classification", in Faradžev, I. A.; Ivanov, A. A. & Klin, M. et al., The Algebraic Theory of Combinatorial Objects, vol. 84, Math. Appl. (Soviet Series), Dordrecht: Kluwer, pp. 283–378.
További információk
- Weisstein, Eric W.: Distance-Transitive Graph (angol nyelven). Wolfram MathWorld
Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap