Sierpiński-halmazok

A Sierpiński-halmaz a Lebesgue-mértékkel kapcsolatos, halmazelméleti vizsgálatoknál használt fontos fogalom. Wacław Sierpiński lengyel matematikusról kapta a nevét.

A ${\displaystyle H\subset \mathbb {R} }$ halmazt, amelyre igaz, hogy ${\displaystyle |H|={\mathfrak {c}}}$, és minden ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$ nullmértékű halmaz esetén ${\displaystyle H\cap A}$ megszámlálható, Sierpiński-halmaznak nevezzük. (${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ a kontinuum számosságot jelöli.)

• Ha feltesszük a kontinuumhipotézist, akkor létezik ilyen halmaz.
• Konzisztens, hogy ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{2}}$ és van Sierpiński-halmaz.
• Minden Sierpiński-halmaz első kategóriájú.

• Luzin-halmaz