Sierpiński-felbontás

Ez a szócikk nem tünteti fel a független forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts megbízható forrásokat találni az állításokhoz! Lásd még: A Wikipédia nem az első közlés helye.

A Sierpiński-felbontás egy meglehetősen paradox, a kontinuumhipotézist használó halmazelméleti konstrukció.

Sierpiński-felbontásnak nevezzük a sík felbontását két halmaz, A és B uniójára úgy, hogy a következő teljesül:

• A metszete minden vízszintes egyenessel megszámlálható,
• B metszete minden függőleges egyenessel megszámlálható.

Ha igaz a kontinuumhipotézis, akkor a síknak létezik Sierpiński-felbontása. Sőt a kontinuumhipotézis ekvivalens ilyen felbontás létezésével.

Szorítkozzunk csak a ${\displaystyle [0,1]\times [0,1]}$ egységnégyzetre. Ha ekkor ${\displaystyle F(x,y)}$ az ${\displaystyle A}$ halmaz karakterisztikus függvénye, tehát ${\displaystyle F(x,y)=1}$, ha ${\displaystyle \langle x,y\rangle \in A}$ és ${\displaystyle F(x,y)=0}$, ha ${\displaystyle \langle x,y\rangle \in B}$, akkor

${\displaystyle 1=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}F(x,y)dxdy\neq \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}F(x,y)dydx=0}$

felhasználva, hogy a Lebesgue-integrál nem változik, ha a függvény értékét megszámlálható sok pontban megváltoztatjuk, így, egy olyan ${\displaystyle [0,1]}$-beli függvény integrálja, ami megszámlálható sok pontban 0, a többi helyen 1, 1, ha pedig a függvény megszámlálható sok pontban 1, a többi helyen 0, akkor integrálja is 0. Úgy is lehet fogalmazni, hogy ${\displaystyle A}$ nem mérhető.

Ez a frappáns átfogalmazás Chris Freilingtől ered.

Tegyük fel a kontinuumhipotézist. Ekkor a sík pontjai felsorolhatók, mint ${\displaystyle \{r_{\alpha }:\alpha <\omega _{1}\}}$. Ketten játszanak, először Első, azután Második beledobja dárdáját a céltáblába, ami a sík. Mondjuk Első eltalálja ${\displaystyle r_{\alpha }}$-t, Második ${\displaystyle r_{\beta }}$-t. A ${\displaystyle \{r_{0},\dots ,r_{\alpha }\}}$ halmaz megszámlálható, tehát nullmértékű. Második ezt nem találhatja el, pontosabban csak nulla valószínűséggel találhatja el. Tehát 1 valószínűséggel ${\displaystyle \beta >\alpha }$. Ezután kinyílik az ajtó és belép valaki a kocsmába. Ránéz a céltáblára és megmondja hogy melyik volt Első dobása (a kisebb) és melyik Másodiké (a nagyobb indexű pont) és 1 valószínűséggel igaza van.

Hasonlóképpen, szintén a kontinuumhipotézisssel igazolható, hogy a háromdimenziós euklideszi tér, R³ felbontható három halmaz, A, B és C egyesítésére, hogy

• A metszete minden az x tengellyel párhuzamos egyenessel véges,
• B metszete minden az y tengellyel párhuzamos egyenessel véges,
• C metszete minden a z tengellyel párhuzamos egyenessel véges.