Riccati-féle differenciálegyenlet

Az

${\displaystyle y'+p(x)y=r(x)y^{2}+h(x)\,\qquad (1)}$

közönséges, egyismeretlenes, elsőrendű, nemlineáris differenciálegyenletet Riccati-féle differenciálegyenletnek nevezzük. Az egyenletet Jacopo Riccati (1676–1754) velencei jogászról és matematikusról nevezték el.

Speciális esetek

• Ha ${\displaystyle r(x)\equiv 0\,}$, akkor lineáris.
• Ha ${\displaystyle h(x)\equiv 0\,}$, akkor Bernoulli-féle differenciálegyenletet kapunk.

Megoldása

Az általános Riccati-féle differenciálegyenlet általában integrálással nem oldható meg, de ha ismeretes az (1) egyenlet egyetlen

${\displaystyle y=y_{1}(x)\,}$

partikuláris megoldása, akkor az

${\displaystyle z(x)=y-y_{1}(x)\,}$

új ismeretlen függvény bevezetésével már az általános ${\displaystyle y=z(x)+y_{1}(x)}$ megoldás is előállítható. Mi csak ezzel az esettel foglalkozunk.

Legyen az (1) egyenlet egy partikuláris megoldása ${\displaystyle y_{1}(x)}$, ekkor fennáll az

${\displaystyle y_{1}'+p(x)y_{1}=r(x)y_{1}^{2}+h(x)\,\qquad (2)}$

azonosság. Vonjuk ki (1)-ből (2) megfelelő oldalát:

${\displaystyle y'-y_{1}'+p(x)(y-y_{1})=r(x)(y^{2}-y_{1}^{2})\,}$,

és vezessük be az

${\displaystyle z(x)=y-y_{1}(x)\,}$

új ismeretlen függvényt, akkor a

${\displaystyle z'+p(x)z=r(x)z(z+2y_{1})\,}$

alak áll elő. Rendezve

${\displaystyle z'+(p(x)-2r(x)y_{1})z=r(x)z^{2}\,\qquad (3)}$

egyenletre jutunk, amely az új z(x) függvényre Bernoulli-féle differenciálegyenlet. Ennek megoldását az előző pontban ismertetett módon kapjuk, az

${\displaystyle {\frac {1}{z}}=u(x)\,}$

új ismeretlen függvény bevezetésével ugyanis lineáris inhomogén differenciálegyenletet kapunk, amely integrálással megoldható.

Források

• A Riccati-féle egyenlet
• A Riccati-féle egyenlet
• A Riccati-féle egyenlet