Picard-tétel
A komplex analízisben Picard kis és nagy tétele két, egymáshoz kapcsolódó tétel, amelyek az analitikus függvények értékkészletét jellemzik. Émile Picard után nevezték el őket.
Állítások
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0b/Essential_singularity.png/220px-Essential_singularity.png)
A kis Picard-tétel:
Ha f : C → C egészfüggvény, és nem konstans, akkor az értékkészlete teljes C, vagy C , kivéve egyetlen komplex számot.[1]
Ez a tétel Liouville tételének lényeges erősítése, ami csak annyit állít, hogy a képhalmaz nem lehet korlátos. Ezt a tételt később többféleképpen is belátták, és Schottky tétele ennek egy kvantitatív változata.
A nagy Picard-tétel:
Ha f analitikus, és egy w helyen lényeges szingularitása van, akkor w bármely pontozott környezetében minden értéket legfeljebb egyetlen kivétellel végtelenszer sokszor felvesz.[1]
Ez a Casorati–Weierstrass-tétel lényegi erősítése, ami csak annyit állít, hogy az értékkészlet sűrű a komplex síkon. Ebből következik, hogy nem polinom egészfüggvény minden értéket legfeljebb egy kivétellel végtelenszer sokszor felvesz.
Megjegyzések
- A legfeljebb egyetlen pont kivételével kitétel szükséges. Például az függvény nem veszi fel a nullát értékként. Az függvénynek lényeges szingularitása van nullában, de szintén nem veszi fel a nullát.
- A kis tétel azonnal következik a nagyból, mert nem polinom egészfüggvénynek lényeges a szingularitása -ben.
- B. Elsner egyik sejtése kapcsolódik a nagy Picard-tételhez.[2] Legyen a pontozott nyílt körlap, és véges nyílt fedése. Adva legyen minden -n egy injektív holomorf függvény úgy, hogy minden metszethalmazon. Ekkor a differenciálok meromorf 1-formává olvadnak össze -n. Ha a reziduum nulla, akkor ez közvetlenül adódik a nagyobb tételből.
A kis Picard-tétel bizonyítása
A j-függvénnyel az állítás röviden belátható. Feltesszük, hogy egész, és kihagyja az értékeket. Ekkor a
függvény egész, és kihagyja a 0 és 1 értékeket. A j-függvény a racionális számokkal és a végtelennel kiegészített felső félsíkot ( halmaz) egy Riemann-felületre képez, aminek végtelen sok levele és elágazása van a és pontokban. Ekkor a inverz függvény ezt a Riemann-felületet a standard fundamenbtális tartomány lezártjátra képezi. Mivel minden esetén, továbbá , és , illetve , lokálisan analitikus minden komplex értékre 0 és 1 kivételével. Következik, hogy
mindenütt lokálisan analitikus, ugyanis éppen a 0 és 1 értékeket hagyja ki. Ekkor kiterjeszthető egészfüggvénnyé, amire teljesül minden esetén, hiszen . A Liouville-tétel miatt konstans, tehát is konstans.
Általánosítása
A nagy Picard-tétel általánosítható meromorf esetre:
Legyen M Riemann-felület, w az M pontja, P1(C) = C ∪ {∞} a Riemann-gömb, továbbá f : M\{w} → P1(C) holomorf függvény, aminek lényeges a szingularitása w-ben. Ekkor M minden w-t tartalmazó nyílt részhalmazán f(z) legfeljebb két kivétellel P1(C) minden pontját végtelenszer felveszi értékként.
Például az f(z) = 1/(1 − e1/z) függvénynek lényeges a szingularitása z = 0-ban, és 0 minden környezetében megközelíti a ∞-t, de a nullát és az egyet kihagyja.
Jegyzetek
- ↑ a b Heinrich Behnke, Friedrich Sommer: Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1965, S. 490.
- ↑ Bernhard Elsner: Hyperelliptic action integral. (angolul) 1999. 303–331. o. = Annales de l’institut Fourier, 49. Hozzáférés: 2018. március 8. PDF, ISSN 1777-5310, doi:10.5802/aif.1675
Források
- Heinrich Behnke, Friedrich Sommer: Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1965.
- Conway, John B.. Functions of One Complex Variable I, 2nd, Springer (1978). ISBN 0-387-90328-3
- Shurman, Jerry: Sketch of Picard's Theorem. (Hozzáférés: 2010. május 18.)
Fordítás
- Ez a szócikk részben vagy egészben a Satz von Picard című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
- Ez a szócikk részben vagy egészben a Picard theorem című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap